הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"
(←נורמה) |
(←נורמה) |
||
שורה 22: | שורה 22: | ||
<math>z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i</math>. | <math>z\cdot w=(5\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3})+(5\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot 2)i=9\frac{2}{9}+4i</math>. | ||
− | ==נורמה== | + | ==נורמה וצמוד== |
+ | ===נורמה=== | ||
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה <math>|\cdot |:\mathbb{C}\to \mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י: | במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה <math>|\cdot |:\mathbb{C}\to \mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י: | ||
<math>|z=a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}</math>. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו. | <math>|z=a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}</math>. מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו. | ||
− | ===תכונות הנורמה=== | + | ====תכונות הנורמה==== |
1. כפליות: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|</math>. | 1. כפליות: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|</math>. | ||
שורה 35: | שורה 36: | ||
3. אי שיוויון המשולש: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math>. | 3. אי שיוויון המשולש: <math>\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}:|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|</math>. | ||
− | ====תרגיל==== | + | =====תרגיל===== |
הוכיחו: <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>. | הוכיחו: <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>. | ||
שורה 45: | שורה 46: | ||
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>. | נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:|z-w|\geq ||z|-|w||</math>. | ||
+ | |||
+ | ===צמוד=== | ||
+ | |||
+ | לכל מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות <math>\bar(z)=a-bi</math>. לדוג' <math>\bar{\pi-\sqrt{3}i}=\pi +\sqrt{3}i</math> |
גרסה מ־09:47, 9 באוקטובר 2018
תוכן עניינים
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר .
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר . במילים אחרות . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה כאשר . כלומר, . שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים .
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל: , וכן .
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י: . מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים: .
3. אי שיוויון המשולש: .
תרגיל
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
בדומה, נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .
צמוד
לכל מספר מרוכב נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות . לדוג'