הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"
(←נורמה וצמוד) |
(←צמוד) |
||
שורה 49: | שורה 49: | ||
===צמוד=== | ===צמוד=== | ||
− | לכל מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות <math>\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi</math>. לדוג' <math>\overline{\pi-\sqrt{3}i}=\pi +\sqrt{3}i</math> | + | לכל מספר מרוכב <math>z=a+bi</math> נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות <math>\overline{z}=\overline{a+bi}=a-bi</math>. לדוג': <math>\overline{\pi-\sqrt{3}i}=\pi +\sqrt{3}i</math>. |
+ | |||
+ | ====תכונות הצמוד==== | ||
+ | |||
+ | 1. כפליות: <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}</math>. | ||
+ | |||
+ | 2. חיבוריות: <math>\forall z,w\in \mathbb{C}:\overline{z+ w}=\overline{z}+ \overline{w}</math>. | ||
+ | |||
+ | 3. אותה נורמה: <math>\forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}|</math>. | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | |||
+ | הוכיחו: <math>\forall z\in \mathbb{C}:z\cdot \overline{z}=|z|^2</math>. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' נסמן <math>z=a+bi</math> ונחשב: | ||
+ | |||
+ | <math>z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2+b^2=(\sqrt{a^2+b^2})^2=|z|^2</math>. |
גרסה מ־09:58, 9 באוקטובר 2018
תוכן עניינים
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר .
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר . במילים אחרות . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה כאשר . כלומר, . שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים .
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל: , וכן .
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י: . מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים: .
3. אי שיוויון המשולש: .
תרגיל
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
בדומה, נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .
צמוד
לכל מספר מרוכב נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות . לדוג': .
תכונות הצמוד
1. כפליות: .
2. חיבוריות: .
3. אותה נורמה: .
תרגיל
הוכיחו: .
פתרון: נסמן ונחשב:
.