הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 1"
(←מציאת הופכי וחילוק) |
|||
שורה 69: | שורה 69: | ||
3. אותה נורמה: <math>\forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}|</math>. | 3. אותה נורמה: <math>\forall z\in \mathbb{C}:|z|=|\overline{z}|</math>. | ||
− | ==== | + | ====ראיתם בהרצאה:==== |
הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> מתקיים: | הוכיחו שלכל מספר מרוכב <math>z</math> מתקיים: | ||
שורה 86: | שורה 86: | ||
<math>z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i</math> | <math>z-\overline{z}=(a+bi)-(a-bi)2bi=2Im(z)i</math> | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | מצאו מספר מרוכב <math>z</math> המקיים: | ||
+ | |||
+ | <math>|z|=5,Im(z)=7</math> | ||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' | ||
==מציאת הופכי וחילוק== | ==מציאת הופכי וחילוק== | ||
שורה 120: | שורה 127: | ||
<math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>. | <math>\overline{z}=\frac{4}{13}-\frac{19}{13}i</math>. | ||
+ | |||
+ | ==תרגילים== | ||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | פתור את המשוואה הבאה: | ||
+ | |||
+ | 1. <math>z^2-(4+6i)z-5+10i=0</math>. | ||
+ | |||
+ | =====פתרון===== | ||
+ | |||
+ | נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה: | ||
+ | |||
+ | <math>z_{1,2}=\frac{4+6i\pm \sqrt{16+48i-36+20-40i}}{2}=\frac{4+6i}{2}\pm \frac{\sqrt{8i}}{2}=2+3i\pm \sqrt{2i}</math>. אבל איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו <math>w=a+bi</math>, כלומר, <math>(a+bi)^2=2i\Rightarrow a^2+2abi-b^2=2i</math>. נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם <math>i</math> ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים: | ||
+ | |||
+ | <math>a^2-b^2=0</math> | ||
+ | |||
+ | <math>2ab=2</math>. | ||
+ | |||
+ | מהמשוואה השנייה נקבל <math>ab=1\Rightarrow a^2b^2=1</math>, ולכן לפי המשוואה הראשונה נקבל <math>a^2a^2=1\Rightarrow a^4=1\Rightarrow a=\pm 1</math>. קיבלנו שני פתרונות: | ||
+ | |||
+ | <math>a=1\Rightarrow b=1\Rightarro w=1+i</math> | ||
+ | |||
+ | <math>a=-1\Rightarrow b=-1\Rightarrow w=-1-i</math>. | ||
+ | |||
+ | בסה"כ נקבל <math>z_{1,2}=2+3i\pm 1+i</math>, ולכן בסה"כ: <math>z_1=3+4i,z_2=1+2i</math>. | ||
+ | |||
+ | ====תרגיל==== | ||
+ | א. פתרו את הנשוואה <math>z+\overline{z}=z+2i</math>. | ||
+ | |||
+ | ב. הוכיחו שלמשוואה <math>z+\overline{z}=Re(z)+2i</math> אין פתרון. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' נסמן<math>z=a+bi</math>, וניזכר שמתקיים <math>z+\overline{z}=2Re(z)</math>, ונקבל <math>2a=a+bi+2i</math>. נעשה השוואת מקדמים ונקבל: | ||
+ | |||
+ | <math>2a=a</math> | ||
+ | |||
+ | <math>0=b+2</math>. | ||
+ | |||
+ | לכן <math>a=0,b=-2</math>, כלומר, <math>z=-2i</math>. | ||
+ | |||
+ | ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי <math>Re(z)</math> תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה <math>Im(Re(z)+2i)=2</math> לכל מספר מרוכב <math>z</math>. |
גרסה מ־07:23, 12 באוקטובר 2018
תוכן עניינים
הגדרה
כידוע אין שורש ממשי למספר . כלומר .
בתחילת הקורס נלמד על מבנה מתמטי בו יש שורש ל : שדה המספרים המרוכבים!
אז מי הם בעצם המספרים המרוכבים? בעצם מה שאנחנו צריכים להגדיר כאן זה שלושה דברים:
1. האיברים עצמם - המספרים המרוכבים.
2. איך לחבר ביניהם.
3. איך להכפיל ביניהם.
נסמן ב איבר מסויים, ונגדיר . במילים אחרות . המספרים המרוכבים הם כל המספרים מהצורה כאשר . כלומר, . שימו לב שכמובן שהמספרים הממשיים מוכלים במרוכבים, פשוט לוקחים .
חיבור: .
כפל: .
לדוגמא: נסמן . נקבל: , וכן .
חלק ממשי וחלק מדומה
יהי . נגדיר את החלק הממשי שלו להיות: , ואת החלק המדומה שלו להיות . שימו לב שגם החלק הממשי וגם החלק המדומה הם מספרים ממשיים!!!
דוגמא: .
שימו לב שמספר מרוכב הוא ממשי אם ורק אם .
מספר מרוכב נקרא מדומה טהור אם . למשל .
נורמה וצמוד
נורמה
במספרים הממשיים יש לנו ערך מוחלט, והוא מוגדר כמרחק של המספר מאפס. נגדיר משהו דומה על המספרים המרוכבים - הנורמה (ויש שקוראים לזה ערך מוחלט). הנורמה זו בעצם פונקציה המוגדרת ע"י: . מאיפה הגיעה הפונקציה הזו? אם נתבונן על המספרים המרוכבים במערכת צירים נוכל לשים לב שהנורמה היא המרחק (האוקלידי) מראשית הצירים. דוגמאות נחמדות כיד המתרגל הטובה עליו.
תכונות הנורמה
1. כפליות: .
2. אי שליליות: , ומתקיים: .
3. אי שיוויון המשולש: .
תרגיל
הוכיחו: .
הערה: זה נקרא אש"מ ההפוך.
פתרון: נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
בדומה, נסמן . נשים לב ש ולכן . כעת מאי שיוויון המשולש נקבל: . נעביר אגפים לקבל .
נאחד את שני אי-השיוויונים שקיבלנו ונקבל .
צמוד
לכל מספר מרוכב נגדיר את הצמוד המרוכב שלו להיות . לדוג': .
תכונות הצמוד
1. כפליות: .
2. חיבוריות: .
3. אותה נורמה: .
ראיתם בהרצאה:
הוכיחו שלכל מספר מרוכב מתקיים:
1. .
2. .
3.
פתרון: נסמן ונחשב:
.
.
תרגיל
מצאו מספר מרוכב המקיים:
פתרון:
מציאת הופכי וחילוק
עובדה: לכל מספר מרוכב שונה מאפס קיים הופכי.
ש: איך נמצא את ההופכי?
ת: כמסקנה מהתרגיל האחרון המקשר בן נורמה לצמוד נקבל: .
תרגיל
מצא את ההופכי של .
פתרון: לפי המסקנה נקבל: .
תרגיל
הצג את הביטוי הבא בצורה וציין מהם . הביטוי הינו:
פתרון: נכפול בצמוד למכנה למעלה ולמטה .
נעצור לרגע להבין את הפורמליות של מה שאנחנו עושים. הרי וכעת רשמנו
לפיכך נקבל:
.
.
.
.
תרגילים
תרגיל
פתור את המשוואה הבאה:
1. .
פתרון
נפתור לפי נוסחת השורשים הרגילה:
. אבל איך מוציאים שורש למספר מרוכב? לכל מספר מרוכב קיים שורש מרוכב. נסמן אותו , כלומר, . נעשה השוואת מקדמים, אלה שעם ואלה שבלי ונקבל שתי משוואות בשני נעלמים:
.
מהמשוואה השנייה נקבל , ולכן לפי המשוואה הראשונה נקבל . קיבלנו שני פתרונות:
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \Rightarro לא מוכרת): a=1\Rightarrow b=1\Rightarro w=1+i
.
בסה"כ נקבל , ולכן בסה"כ: .
תרגיל
א. פתרו את הנשוואה .
ב. הוכיחו שלמשוואה אין פתרון.
פתרון: נסמן, וניזכר שמתקיים , ונקבל . נעשה השוואת מקדמים ונקבל:
.
לכן , כלומר, .
ב. נשים לב שאגף ימין הוא מספר ממשי, כי תמיד ממשי. מאידך, בדיוק מאותה סיבה לצד ימין יש חלק מדומה לכל מספר מרוכב .