הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזה מתקדמת למורים תרגול 6"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה ל מערכי תרגול. == אקסופנט== ראינו בשבוע שעבר שה...") |
(←פתרון) |
||
שורה 15: | שורה 15: | ||
כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש <math>x,y\in \mathbb{R}</math> כך ש <math>e^x(\cos y+i\sin y)=-e</math>. | כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש <math>x,y\in \mathbb{R}</math> כך ש <math>e^x(\cos y+i\sin y)=-e</math>. | ||
− | ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש <math>\sin y=0</math>, ולכן <math>y=0+\pi k</math>. כעת נקבל <math>\cos y\in \{-,0,1\}</math>, וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה <math>\cos y=-1</math>, ולכן ניקח <math>y=\pi</math>. | + | ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש <math>\sin y=0</math>, ולכן <math>y=0+\pi k</math>. כעת נקבל <math>\cos y\in \{-1,0,1\}</math>, וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה <math>\cos y=-1</math>, ולכן ניקח <math>y=\pi</math>. |
מה שקיבלנו עד כה זה <math>e^{x+\pi i}=-e^x</math>, ולכן אם ניקח <math>x=\ln e=1</math> נקבל <math>e^{1+\pi i}=-e</math> כדרוש. | מה שקיבלנו עד כה זה <math>e^{x+\pi i}=-e^x</math>, ולכן אם ניקח <math>x=\ln e=1</math> נקבל <math>e^{1+\pi i}=-e</math> כדרוש. |
גרסה מ־09:37, 11 בדצמבר 2018
חזרה ל מערכי תרגול.
תוכן עניינים
אקסופנט
ראינו בשבוע שעבר שהפונקציה גזירה ומקיימת , וראיתם בהרצאה שהיא מקיימת את כל התכונות הנדרשות לפונקציית האקספוננט, ולכן הגדרנו: .
לדוגמא, נחשב :
.
תרגיל
כידוע, בממשיים מתקיים . מה לגבי המרוכבים? האם קיים כך ש הוא ממשי וקטן מאפס?
פתרון
כן! נתחיל מדוגמא, ואז נבין את הפתרון הכללי. נחפש כך ש .
ראשית, כדי שהתוצאה תהיה ממשית דרוש , ולכן . כעת נקבל , וכיון שאנחנו רוצים לקבל מספר שלילי נרצה , ולכן ניקח .
מה שקיבלנו עד כה זה , ולכן אם ניקח נקבל כדרוש.
באופן כללי: יהי ממשי. נבחר ונקבל .
תרגיל
הוכיחו שמתקיים:
פתרון
לפי הגדרה: .