גרסה מ־08:54, 19 בפברואר 2019

תוכן עניינים

1 מבחנים לדוגמא
2 תקציר ההרצאות
- 2.1 הקדמה
  - 2.1.1 גלים
- 2.2 טורי פורייה

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
למדנו במד"ר על המשוואה $y''=-k^2y$ שהפתרון הכללי שלה הוא $y=a\sin(kt)+b\cos(kt)$ .
הקבוע $k$ קובע את התדר של כל גל.
הקבועים $a,b$ קובעים את האמפליטודה של כל גל.
מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה $a\sin(kt+t_0)$ , הקבוע $t_0$ קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
  - $a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)$

האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי $a\sin(kt)+b\cos(kt)$ ניתן להציג כגל יחיד?
תשובה: כן.
הוכחה:
- נסמן $z=a+bi=rcis(\theta)$
- כלומר $a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)$
שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא $r=\sqrt{a^2+b^2}$ .

האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה

טור פורייה הוא טור מהצורה $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים $a_n,b_n$ ?

נבצע כמה חישובים כהקדמה:
ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
- $\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$
- $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]$
כעת, לכל נקבל:
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש $n-k,n+k\neq 0$ .
באופן דומה, לכל נקבל:
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש $n-k,n+k\neq 0$ .
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0$ כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
ולבסוף, עבור נקבל
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2$
שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.

הערה חשובה:
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה $\{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}$ מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx$

גרסה מ־08:54, 19 בפברואר 2019 (הצגת מקור) ארז שיינר (שיחה \| תרומות) (←‏טורי פורייה) → מעבר להשוואת הגרסאות הקודמת		גרסה מ־08:54, 19 בפברואר 2019 (הצגת מקור) ארז שיינר (שיחה \| תרומות) (←‏טורי פורייה) מעבר להשוואת הגרסאות הבאה ←
שורה 70:		שורה 70:

	*הערה חשובה:		*הערה חשובה:
−	**למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה ~~בסיס אורתונורמלי~~ לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math>	+	**למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה <math>\{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}</math> מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית <math>\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx</math>

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה - ארז שיינר"

גרסה מ־08:54, 19 בפברואר 2019

תוכן עניינים

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

טורי פורייה

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים