הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה - ארז שיינר"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏גלים)
(←‏מקדמי הטור)
שורה 82: שורה 82:
 
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]</math>
 
*<math>=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]</math>
 
*לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
 
*לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
−
*<math>\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx=a_k</math>
+
*<math>a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx</math>
 
*שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור <math>k=0</math>.
 
*שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור <math>k=0</math>.
 +
*באופן דומה נקבל כי <math>b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx</math>
 +
 +
 +
*הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
 +
*השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
 +
*באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור <math>2\pi</math>.
 +
*לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה.

גרסה מ־12:12, 20 בפברואר 2019

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

  • מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
  • לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
    • תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
    • אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
    • פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
  • אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.


  • מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
  • למדנו במד"ר על המשוואה y''=-k^2y המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
  • זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
  • הפתרון הכללי למד"ר הוא y=a\sin(kt)+b\cos(kt).
  • הקבוע k קובע את התדר של כל גל.
  • הקבועים a,b קובעים את האמפליטודה של כל גל.
  • מה לגבי הפאזה?
    • בפונקציה a\sin(kt+t_0), הקבוע t_0 קובע את הפאזה.
    • ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
      • a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)


  • האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי a\sin(kt)+b\cos(kt) ניתן להציג כגל יחיד?
  • תשובה: כן.
  • הוכחה:
    • נסמן z=a+bi=rcis(\theta)
    • כלומר a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)
  • שימו לב:
    • סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
    • הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
    • לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
    • האפליטודה של הגל החדש היא r=\sqrt{a^2+b^2}.


  • האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
  • בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
  • האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
  • למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
  • במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה

  • טור פורייה הוא טור מהצורה f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]


  • אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים a_n,b_n?


חישובים להקדמה

  • ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
    • \sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]
    • \cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]
  • כעת, לכל 0\neq n\in\mathbb{N} נקבל:
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1
  • עבור n\neq k \in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0
    • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה שn-k,n+k\neq 0.
  • באופן דומה, לכל 0\neq n\in\mathbb{N} נקבל:
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1
  • עבור n\neq k \in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0
    • שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה שn-k,n+k\neq 0.
  • עבור n,k\in \mathbb{N} נקבל:
    • \int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0 כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
  • ולבסוף, עבור n=0 נקבל
    • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2
  • שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.


  • הערה חשובה:
    • למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה \{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\} מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית \langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx

מקדמי הטור

  • כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
  • \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=
  • =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=
  • כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
  • =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]
  • לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
  • a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx
  • שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור k=0.
  • באופן דומה נקבל כי b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx


  • הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
  • השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
  • באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור 2\pi.
  • לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה.
מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אנליזת_פורייה_-_ארז_שיינר&oldid=79977