גרסה מ־13:28, 20 בפברואר 2019

תוכן עניינים

1 מבחנים לדוגמא
2 תקציר ההרצאות
- 2.1 הקדמה
  - 2.1.1 גלים
- 2.2 טורי פורייה
  - 2.2.1 חישובים להקדמה
  - 2.2.2 מקדמי הטור
    - 2.2.2.1 דוגמא

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

מבלי להגדיר גל במפורש, גל הוא תופעה מחזורית.
לגל שהוא פונקציה במשתנה אחד של ציר הזמן יש שלוש תכונות:
- תדר או אורך גל (אחד חלקי המחזור או המחזור)
- אמפליטודה (מרחק בין המקסימום למינימום)
- פאזה (מהי נק' ההתחלה של המחזור).
אנחנו נתרכז כמעט באופן בלעדי בפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס, ונקרא להם גלים טריגונומטריים.

מדוע דווקא סינוס וקוסינוס?
למדנו במד"ר על המשוואה $y''=-k^2y$ המתארת תנועה על מסה המחוברת לקפיץ
זו למעשה תנועה כללית של גל - ככל שהוא מתרחק, גדל הכוח שמושך אותו למרכז. מיתר גיטרה הוא דוגמא טובה נוספת.
הפתרון הכללי למד"ר הוא $y=a\sin(kt)+b\cos(kt)$ .
הקבוע $k$ קובע את התדר של כל גל.
הקבועים $a,b$ קובעים את האמפליטודה של כל גל.
מה לגבי הפאזה?
- בפונקציה $a\sin(kt+t_0)$ , הקבוע $t_0$ קובע את הפאזה.
- ניתן להציג כל גל כזה באמצעות סינוס וקוסינוס ללא פאזה:
  - $a\sin(kt+t_0)=(a\sin(t_0))cos(kt)+(a\cos(t_0))sin(kt)$

האם גם ההפך נכון? כלומר האם כל צירוף לינארי $a\sin(kt)+b\cos(kt)$ ניתן להציג כגל יחיד?
תשובה: כן.
הוכחה:
- נסמן $z=a+bi=rcis(\theta)$
- כלומר $a\sin(kt)+b\cos(kt)=r\sin(\theta)sin(kt)+r\cos(\theta)cos(kt)=rcos(kt-\theta)$
שימו לב:
- סכמנו שני גלים מאותו תדר עם פאזה אפס, וקיבלנו גל חדש.
- הגל החדש הוא מאותו תדר כמו שני הגלים.
- לגל החדש יש פאזה שאינה אפס.
- האפליטודה של הגל החדש היא $r=\sqrt{a^2+b^2}$ .

האם כל פונקציה היא סכום של גלים?
בהנתן פונקציה שהיא סכום של גלים, כיצד נמצא מיהם הגלים המרכיבים אותה?
האם יש דרך יחידה להרכיב פונקציה מגלים? (למעשה כבר ראינו שלא באופן כללי - הרי הצלחנו להציג גל אחד כסכום של שני גלים אחרים).
למה בכלל מעניין אותנו לפרק פונקציה לגלים?
במהלך ההרצאות נענה (לפחות חלקית) על השאלות הללו.

טורי פורייה

טור פורייה הוא טור מהצורה $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]$

אם פונקציה שווה לטור פורייה שלה, מהם המקדמים $a_n,b_n$ ?

חישובים להקדמה

ראשית נזכור את הנוסחאות הטריגונומטריות:
- $\sin(a)\sin(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]$
- $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}\left[\cos(a+b)+\cos(a-b)\right]$
כעת, לכל נקבל:
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos(2nx))dx = \frac{1}{2\pi}\left[x-\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n-k)x)-\cos((n+k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n-k}-\frac{\sin((n+k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש $n-k,n+k\neq 0$ .
באופן דומה, לכל נקבל:
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(nx)dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos(2nx)+1)dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2n}\sin(2nx)+x\right]_{-\pi}^{\pi}=1$
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(kx)dx = \frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos((n+k)x)+\cos((n-k)x))dx = \frac{1}{2}\left[\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}+\frac{\sin((n-k)x)}{n+k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$
- שימו לב כי השתמשנו כאן בעובדה ש $n-k,n+k\neq 0$ .
עבור נקבל:
- $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\sin(kx)dx=0$ כיוון שמדובר באינטגרל בקטע סימטרי על פונקציה אי זוגית.
ולבסוף, עבור נקבל
- $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(0)\cos(0)dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}1dx=2$
שימו לב שכאשר מציבים 0 בsin מקבלים אפס, ולכן אין צורך בבדיקה הזו.

הערה חשובה:
- למעשה כלל החישובים שעשינו לעיל מוכיחים שהקבוצה $\{\frac{1}{2},sin(x),cos(x),sin(2x),cos(2x),...\}$ מהווה קבוצה אורתונורמלית לפי המכפלה הפנימית $\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(f\cdot g) dx$

מקדמי הטור

כעת תהי פונקציה ששווה לטור פורייה, ועוד נניח שהטור מתכנס במ"ש.
$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]\right)\cos(kx)dx=$
$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{a_0}{2}\cos(kx)+\sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right]\right)dx=$
כיוון שהטור מתכנס במ"ש, מותר לנו לעשות אינטגרציה איבר איבר
$=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\cos(kx)dx + \sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left(a_n\cos(nx)\cos(kx)+b_n\sin(nx)\cos(kx)\right)dx\right]$
לפי חישובי האינטגרלים לעיל, כמעט הכל מתאפס וסה"כ נקבל:
$a_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(kx)dx$
שימו לב שחישוב זה נכון בפרט עבור $k=0$ .
באופן דומה נקבל כי $b_k=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(kx)dx$

הוכחנו שאם פונקציה שווה לטור פורייה, והטור מתכנס במ"ש, אזי הוא יחיד והמקדמים שלו נקבעים על ידי הנוסחאות לעיל.
השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור $2\pi$ .
לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
- תהי פונקציה $f$ , נגדיר את ההמשך המחזורי שלה $g$ על ידי:
- לכל $k\in\mathbb{Z}$ ולכל $x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)$ נגדיר $g(x)=f(x-2\pi k)$ .
- ברור ש $g(x+2\pi) = g(x)$ , כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
- ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת $g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)$

לדוגמא, ההמשך המחזורי של $x^2$ :

דוגמא

נחשב את מקדמי הפורייה של

@@ שורה 90: / שורה 90: @@
 *השאלה היא אילו פונקציות שוות לטור פורייה.
 *באופן מיידי, ברור שטור פורייה הוא פונקציה עם מחזור <math>2\pi</math>.
-*לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה.
+*לכן בדר"כ אנו שואלים האם ההמשך המחזורי של הפונקציה שווה לטור פורייה:
+**תהי פונקציה <math>f</math>, נגדיר את ההמשך המחזורי שלה <math>g</math> על ידי:
+**לכל <math>k\in\mathbb{Z}</math> ולכל <math>x\in [-\pi+2\pi k,\pi+2\pi k)</math> נגדיר <math>g(x)=f(x-2\pi k)</math>.
+**ברור ש <math>g(x+2\pi) = g(x)</math>, כלומר קיבלנו פונקציה מחזורית.
+**ניתן גם לרשום בנוסחא מקוצרת <math>g(x)=f(x-2\pi\lfloor\frac{x+\pi}{2\pi}\rfloor)</math>
+*לדוגמא, ההמשך המחזורי של <math>x^2</math>:
+:[[קובץ:x^2_fourier.png|1000px]]
+====דוגמא====
+*נחשב את מקדמי הפורייה של

הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה - ארז שיינר"

גרסה מ־13:28, 20 בפברואר 2019

תוכן עניינים

מבחנים לדוגמא

תקציר ההרצאות

הקדמה

גלים

טורי פורייה

חישובים להקדמה

מקדמי הטור

דוגמא

תפריט הניווט

כלים אישיים

גרסאות שפה

מרחבי שם

חיפוש

עוד

צפיות

ניווט

כלים