הבדלים בין גרסאות בדף "88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 7"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(←‏תרגיל)
(←‏תרגיל)
שורה 166: שורה 166:
  
 
=== תרגיל ===
 
=== תרגיל ===
−
נגדיר <math>F</math> להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים <math>F=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|<\aleph_\}</math>. מה עוצמתה?
+
נגדיר <math>F</math> להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים <math>F=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|<\aleph_0\}</math>. מה עוצמתה?
  
 
פתרון: לכל <math>i\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|=i\}</math> (אוסף תתי הקבוצות מגודל <math>i</math>). אזי <math>|F_i|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math>  
 
פתרון: לכל <math>i\in \mathbb{N}</math> נגדיר <math>F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|=i\}</math> (אוסף תתי הקבוצות מגודל <math>i</math>). אזי <math>|F_i|\leq \aleph_0^i=\aleph_0</math>  

גרסה מ־06:24, 12 באוגוסט 2019

חזרה למערכי התרגול

אריתמטיקה של עוצמות

הגדרה יהיו A,B קבוצות אזי A^B:=\{f:B\rightarrow A\}.

תרגיל

יהיו A,B,C קבוצות כך ש |A|\leq |B|. הוכיחו כי |A^C|\leq|B^C|.

פתרון: נתון שקיימת f:A\to B חח"ע. נגדיר g:A^C\to B^C ע"י h:C\to A\mapsto f\circ h. מתקיים כי g חח"ע כי f חח"ע ויש לה הפיכה שמאלית.

הערה: |A|< |B| לא גורר |A^C|<|B^C|.


תרגיל

הוכח שעוצמת קבוצת החזקה של A תמיד גדולה מעוצמתה של A

הוכחה. יש התאמה חח"ע ועל g:P(A)\to \{0,1\}^A ע"י \forall B\subseteq A : g(B)=f_B=\chi_B

לפי תרגיל קודם |A|<|\{0,1\}^A|=|P(A)|

הערה: (למי שלמד תורת הקבוצות) מסיבה זו אוסף העוצמות אינו קבוצה אלא מחלקה. שכן אם הוא היה קבוצה, הייתה לו עוצמה

תרגיל

יהיו A,B קבוצות כך ש |B|>1. הוכח כי |A|<|B^A|.

פתרון. נבחר 2 איברים שונים b_0,b_1\in B ונגדיר פונקציה חח"ע g:A\to B^A ע"י g(a)=f_a כאשר f_a(a)=b_1 ו \forall a'\not=a :f_a(a')=b_0 ולכן |A|\leq|B^A|.

נניח בשלילה שקיים שיוויון אזי קיימת התאמה חח"ע ועל g:A\to B^A. נסמן \forall a\in A:g(a)=f_a.

נראה באופן דומה לתירגול קודם כי g איננה על ע"י שנמצא פונקציה f שאין לה מקור:

נבחר 2 איברים שונים b_0,b_1\in Bונגדיר פונקציה באופן הבא f:A\rightarrow B ע"י f(a)=b_0 אם f_a(a)=b_1. ו- f(a)=b_1 אחרת. לפי הבנייה \forall a\in A f\not=f_a כיוון ש f(a)\not=f_a(a). סתירה לכך ש g על.

הערה: התרגיל הזה הוא מסקנה מהתרגילים הקודמים כי |\{0,1\}|\leq |B| ולכן |A|<|\{0,1\}^A|\leq |B^A|

הגדרה: יהיו שתי קבוצות זרות A,B כך ש |A|=a, |B|=b. אזי נגדיר פעולות בין עוצמות:

  • a+b:=|A\cup B|
  • a\cdot b := |A\times B|
  • a^b := |\{f:B\rightarrow A\}|

דוגמא: ראינו בתירגול קודם את הזיהוי [0,1)=\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\} לכן \aleph=|\mathbb{R}|=|[0,1)|=|\{f:\mathbb{N} \to \{0,1,...9\}\}|=10^{\aleph_0}

הערות:

  • ההגדרות לעיל מוגדרות היטב, כלומר העוצמה נשארת זהה ללא תלות בבחירת הקבוצות המייצגות.
  • בידקו שעבור המקרה הסופי מתקיים מה שמצופה.

למשל 2+1=|\{1,2\}\cup\{3\}|=3

  • שימו לב: מתוך הגדרה זו קל לראות את חוקי החזקות למקרי הקצה:
    • a^0=1 שכן יש פונקציה יחידה מהקבוצה הריקה לכל מקום - היחס שהוא הקבוצה הריקה.
    • 0^0=1 זה מקרה פרטי של הסעיף הקודם, ועדיין מתקיים
    • 1^a=1
    • a\neq 0 \rightarrow 0^a=0 אין אף פונקציה מקבוצה לא ריקה אל קבוצה ריקה, שכן יחס כזה לא יכול להיות שלם.

תכונות האריתמטיקה

יהיו a,b,c עוצמות אזי מתקיים

  • ab=ba
  • (ab)c=a(bc)
  • a^ba^c=a^{b+c}
  • a^cb^c=(ab)^c
  • (a^b)^c=a^{bc}

כלומר מתקיימים חוקי החזקות ה"רגילים"


נוכיח למשל a^ba^c=a^{b+c} יהיו |A|=a,|B|=b,|C|=c קבוצות זרות נגדיר פונקציה מ A^{B\cup C} \to A^B\times A^C ע"י f \mapsto (f|_B,f|_C). היא חח"ע ועל.

נוכיח למשל (a^b)^c=a^{bc} יהיו |A|=a,|B|=b,|C|=c קבוצות זרות נגדיר פונקציה מ (A^B)^C \to A^{B\times C} ע"י f \mapsto g(b,c)= f(c)(b). היא חח"ע ועל.


בנוסף אם מניחים את אקסיומת הבחירה אזי מתקיים עבור a,b עוצמות כאשר אחד מהם אין סופי

  • a+b=max\{a,b\}
  • אם שניהם אינם אפס אזי a\cdot b=max\{a,b\}
  • מסקנה: אם 2\leq a \leq b אזי a^b=2^b

הוכחה 2^b\leq a^b\leq (2^a)^b=2^{ab}=2^b

תרגיל

הוכח כי \aleph_0+\aleph=\aleph

הוכחה: דרך א- ישירות מהגדרה. נבחר A=[\frac{1}{4},\frac{1}{2}],B=\mathbb{N} אזי \aleph=|A|\leq |A\cup B |\leq |\mathbb {R}|=\aleph

דרך ב- מהנוסחא. \aleph_0+\aleph=max\{\aleph_0,\aleph\}=\aleph

תרגיל

הוכח כי \aleph \cdot \aleph=\aleph

הוכחה: \aleph=|\{f:\mathbb{N}\to \{ 0,1\dots 9 \} \}|=10^{\aleph_0}=2^{\aleph_0}

דרך א- ישירות מהגדרה. נבחר A=\{f:\mathbb{N}\to \{0,1\dots 9\}\},B=A\times A אזי נגדיר פונקציה A\to A\times A ע"י f(n)\mapsto (f(2n),f(2n+1)) . זו פונקציה חח" ועל.

דרך ב- אריתמטיקה- \aleph \cdot \aleph=2^{\aleph_0}\cdot 2^{\aleph_0}=2^{\aleph_0+\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\aleph

דרך ג- מהנוסחא- \aleph \cdot \aleph=max\{\aleph,\aleph\}=\aleph

תרגיל

הוכח כי |\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|=\aleph

פתרון:

כיוון ש \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} מוכל בממשיים עוצמתה לכל היותר אלף. נניח בשלילה כי עוצמתה שווה a קטנה ממש מאלף אזי \aleph=|\mathbb{R}|=|\mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}|+|\mathbb{Q}|=a+\aleph_0=a<\aleph. סתירה

תרגיל

חשבו את \aleph^{\aleph_0},{\aleph_0}^{\aleph}

פתרון: \aleph^{\aleph_0}=\aleph,{\aleph_0}^{\aleph}=2^{\aleph}

הסיקו כי עוצמת קבוצת הפונקציות מהרציונאלים לממשיים היא \aleph.

תרגיל

תהא A קבוצה אינסופית ו B\subseteq A תת קבוצה.

הוכח/הפרך

1. |A\backslash B|=|A|\Rightarrow |B|<|A|

2. |A\backslash B|=|A|\Leftarrow |B|<|A|

פתרון:

1. הפרכה: ניקח את השלמים והטבעיים

2. נכון כי ניתן להציג A כאיחוד זר A=A\backslash B \cup B ולכן |A|=|A\backslash B| + |B|. אם |A\backslash B|<|A| נקבל סתירה

תרגיל

1. מה עוצמת \mathbb{N}^\mathbb{N}

פתרון: \aleph_0^{\aleph_0} =2^{\aleph_0}

2. מה עוצמת X=\{f\in \mathbb{N}^\mathbb{N}:f(1)\leq f(2)\}

פתרון: לכל היותר \mathbb{N}^\mathbb{N} ולכל הפחות \mathbb{N}^\mathbb{N} כי לכל g\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}\setminus \{1,2\}} נתאים f\in X ע"י f(1)=f(2)=1 ועבור x\neq 1,2 נגדיר f(x)=g(x) ולכן |\mathbb{N}^{\mathbb{N}\setminus \{1,2\}}|\leq|X|\leq |\mathbb{N}^\mathbb{N}| ולפי ק.ש.ב יש שיווון

3. מה עוצמת X=\{f\in \mathbb{R}^\mathbb{R}:\forall x\notin \mathbb{Q} f(x)=1\}

פתרון: X שווה עוצמה ל \mathbb{R}^{\mathbb{Q}} כי g\in\mathbb{R}^{\mathbb{Q}} ממופה ל f\in X המוגדרת f|_{\mathbb{Q}}=g,f|_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}=1

תרגיל

תהי \{A_i\}_{i\in I} משפחה של קבוצות הזרות זו לזו כך שעוצמת כל אחת מהן בa. נגדיר \sum_{i\in I} a = |\bigcup_{i\in I}A_i|. הוכח כי \sum_{i\in I} a = |I|\cdot a

פתרון:

תהא A קבוצה נוספת מעוצמה a. לכל i\in I קיימת פונקציה חח"ע ועל f_i:A\rightarrow A_i. כעת נגדיר פונקציה g:I\times a\rightarrow\bigcup_{i\in I}A_i ע"י g(k,x)=f_k(x). מכיוון שהקבוצות זרות וf_k חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון שf_k על גם g על ולכן קיבלנו את המבוקש.

תרגיל

נגדיר F להיות אוסף תתי הקבוצות הסופיות של הטבעיים F=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|<\aleph_0\}. מה עוצמתה?

פתרון: לכל i\in \mathbb{N} נגדיר F_i=\{X\subseteq \mathbb{N}:|X|=i\} (אוסף תתי הקבוצות מגודל i). אזי |F_i|\leq \aleph_0^i=\aleph_0 ואז |F|=|\cup_{i\in \mathbb{N}}F_i|\leq \aleph_0\cdot \aleph_0 =\aleph_0

תרגיל

נגדיר A להיות כלי קבוצות האינסופיות של הטבעיים. מה עוצמתה?

פתרון: מתקיים כי P(\mathbb{N})=A\cup A^c כאשר A היא תתי הקבוצות הסופיות מתרגיל קודם שעוצמת \aleph_0 ולכן 2^{\aleph_0}=\aleph_0+|A^c|=\max\{\aleph_0,|A^c|\}=|A^c|

תרגיל

נגדיר A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph_0 \} ,מה עוצמתה?

פתרון: לכל הפחות 2^{\aleph_0} כי תתי הקבוצות האינסופיות של הטבעיים מעוצמה זאת. בצד שני נגדיר F:\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to A המוגדרת f\mapsto Imf היא על כי לכל X\in A קיימת f:\mathbb{N}\to X הפיכה, בפרט על והיא תשמש כמקור. לפי ק.ש.ב |A|=2^{\aleph_0}

תרגיל

נגדיר A=\{X\subseteq \mathbb{R}: |X|=\aleph \} ,מה עוצמתה?

פתרון: לכל היותר 2^\aleph מצד שני F:P((0,1))\to A המוגדרת B\mapsto B\cup (1,2) חח"ע ולפי ק.ש.ב. סימנו

תרגיל ממבחן תשסח מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אלי בגנו)

תהי A קבוצה אינסופית. נסמן a=|A|,\;B=P(A),\;F=A\times P(A),\; C=P(A)^A,\; H=B^B

א. מצא את |C|
ב. מצא את |F\times H|
ג. מצא את |\{R:|\mathbb{N}/R|=2\}| המוכלת באוסף יחסי השקילות על הטבעיים.


פתרון. א. |C|=(2^a)^a=2^{aa}=2^a

ב.|F\times H|=|F||H|=a2^a(2^a)^{2^a}=2^{a2^a}=2^{2^a}

ג. כל יחס שקילות שקבוצת המנה 2 מתאים לחלוקה של \mathbb{N} ל-2 קבוצות זרות. ולכן יש התאמה חח"ע ועל \{R:|\mathbb{N}/R|=2\} \leftrightarrow W=\{\{A,A^c\}|A\subseteq \mathbb{N}\} ולכן 2 הקבוצות מאותה עוצמה.

ט: |W|=2^{\aleph_0}

ה: נסמן |W|=a. בנוסף \bigcup_{\{A,A^c\}\in W}\{A,A^c\}=P(\mathbb{N}) ולכן 2^{\aleph_0}=|P(\mathbb{N})|=2a=a.

תרגיל ממבחן תשע מועד א (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)

יהי S יחס על \mathbb{R}^\mathbb{R} (קבוצת כל הפונקציות הממשיות), המוגדר על ידי (f,g)\in S אם"ם לכל x\in\mathbb{R} מתקיים f(x)-g(x)\in\mathbb{Z}

1. הוכיחו ש S הינו יחס שקילות
2. תהי f\in\mathbb{R}^\mathbb{R} מצאו את |[f]|
3. מצאו את |\mathbb{R}^\mathbb{R}/S|


פתרון:

1.

  • רפלקסיביות: \forall x\in\mathbb{R} f(x)-f(x)=0\in\mathbb{Z}
  • סימטריות: f(x)-g(x)\in\mathbb{Z} גורר שגם g(x)-f(x)\in\mathbb{Z} כי יש נגדי לחיבור
  • טרנזיטיביות: נובעת בקלות מסגירות לחיבור בשלמים: f-h=f-g+g-h

2.

עבור [f]\in \mathbb{R}^\mathbb{R}/S נגדיר F:[f] \to \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}. ע"י F(g):=f-g נראה כי היא מוגדרת,חח"ע ועל.

מוגדרת: לפי ההגדרה של יחס השקילות אכן מתקיים f-g\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}}

נראה כי ל F קיימת הופכית. נגדיר G: \mathbb{Z}^{\mathbb{R}} \to [f]. ע"י G(h):=f-h . הפונקציה מוגדרת היטב כי f-(f-h)\in \mathbb{Z}^{\mathbb{R}} וקל לוודא שזוהי ההופכית

חח"ע: נניח F(g)=F(h) לכן \forall x\in\mathbb{R} f(x)-g(x)=f(x)-h(x) ולכן h=g.

על: תהי h פונקציה כלשהי מהממשיים לשלמים, ברור ש(f-h) במחלקת השקילות של f והיא תהיה המקור.

אם כך, העוצמה של מחלקת השקילות זהה לעוצמה של אוסף הפונקציות מהממשיים לשלמים והוא {\aleph_0}^\aleph. לפי התכונות שלמדנו לעיל מתקיים 2^\aleph\leq{\aleph_0}^\aleph\leq 2^\aleph ולכן לפי קנטור מתקיים {\aleph_0}^\aleph=2^\aleph

3.

נזכור בסימון \lfloor x\rfloor שהוא המספר השלם הגדול ביותר הקטן או שווה לx.

נגדיר F פונקציה השולחת את f\in\mathbb{R}^\mathbb{R} לפונקציה F(f):=f-\lfloor f\rfloor\in [0,1)^\mathbb{R}. נראה ש-F מוגדרת היטב (על קבוצת המנה)וההפעלה שלה על קבוצת המנה תהיה חח"ע ועל.

מוגדרות: יהיו שתי פונקציות באותה מחלקת שקילות g,f. אזי, F(g)-F(f)=g-\lfloor g\rfloor -f + \lfloor f\rfloor. מכיוון שזהו הפרש של שני מספרים אי שליליים קטנים מאחד, זה שווה למספר שבערכו המוחלט קטן מאחד. מכיוון שההפרש בין f ל-g שלם, המספר הזה הוא שלם. המספר השלם האי שלילי היחיד שקטן מאחד הינו אפס כלומר F(f)=F(g). לכן הפונקציה F מוגדרת היטב שכן היא שולחת נציגים שונים של מחלקת שקילות לאותו מקום.

חח"ע: נניח F(f)=F(g) אז f-g=\lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor כיוון ש \lfloor f\rfloor - \lfloor g\rfloor\in \mathbb{Z}^\mathbb{R} אזי הם נציגים של אותה מחלקת שקילות כלומר [f]=[g]

על: ניקח פונקציה כלשהי r מהממשיים לקטע [0,1). קל לראות ש F[r]=r שכן \lfloor r \rfloor = 0. לכן r ישמש מקור ולכן F הינה על.

סה"כ קיבלנו שעוצמת קבוצת המנה שווה ל\aleph^\aleph וזה שווה ל2^\aleph לפי התכונות לעיל.

תרגיל ממבחן תשע מועד ב (ד"ר שי סרוסי וד"ר אפי כהן)

א. תהי A קבוצה אינסופית מעוצמה a.

1. נגדיר עבור :

X=\{(X_1,...,X_n):1<n\in\mathbb{N}\and\Big[\bigcup_i X_i=A\Big] \and \Big[\forall i\neq j: X_i\cap X_j = \emptyset\Big] \and \big[ \forall i X_i \neq \emptyset\big]\}.

כלומר אוסף החלקות הסופיות הלא טרי' הסדורות של A הוכח |X|=2^a

2. מצא את |\mathbb{N}\times X|,|\mathbb{N}\cup X| וגם את |X|^{|\mathbb{N}|},|\mathbb{N}|^{|X|}


ב.תהי \{A_i\}_{i\in I} משפחה של קבוצות הזרות זו לזו. נסמן את עוצמת כל אחת מהן בa_i בהתאמה. נגדיר \sum_{i\in I} a_i = |\bigcup_{i\in I}A_i|.

חשב את \sum_{n\in\mathbb{N}}\aleph


פתרון.

א.

1.

נביט באוסף הפונקציות Y=\{f:A\rightarrow\mathbb{N}\}. נגדיר g:X\to Y על ידי לכל x=(X_1,...,X_n)\in X

נשלח אותו ל g(x)=f_x המוגדר \forall a\in A :\; f_x(a)=k כאשר a\in X_k כלומר שולחת איבר לאינדקס של הקבוצה שהוא נמצא בה בחלוקה.

נוכיח שהפונקציה מוגדרת וחח"ע.

מוגדרת: כיוון ש x הוא חלוקה של A אזי האיבר a יופיע ויופיע בדיוק באחת מהקבוצות.

חח"ע: נניח (X_1,...,X_n)=x\neq x'=(X'_1,...,X'_m). אזי קיים X_i\not=X'_i, לכן קיים יהיה a\in X_i/X'_i (או להיפך) ואז i=f_x(a)\not= f_{x'}(a) כלומר g(x)\not=g(x')

דרך 2- נגדיר פונקציה g:X\to P(A)^{\mathbb{N}} ע"י g((X_1,...,X_n))(i) = \begin{cases}X_i & \text{if } 1\leq i \leq n \\ \emptyset & \text{if } n<i \end{cases}

קל לראות כי הפונקציה חח"ע ולכן |X| =(\leq 2^{|A|})^{\aleph_0} = \leq 2^{|A|\cdot \aleph_0} =2^{|A|}

דרך 3- נציג את X כאיחוד זר X=\cup_{1<n\in \mathbb {N}}Y_n כאשר Y_n זה חלוקות סדורות של A עם n קבוצות. כעת לכל n קיימת פונקציה g:Y_n \to P(A)^n המוגדרת g((X_1,...,X_n))=X_1 \times \cdots \times X_n קל לראות שהיא חח"ע ולכן |Y_n|=|A|^n =|A| ולכן |X|\leq \sum_{1<n\in \mathbb {N}}|A|=|A|\cdot \aleph_0 =|A|

כעת, קל למצוא פונקציה חח"ע מקבוצת החזקה של A ל-X - נשלח כל תת קבוצה לזוג שמכיל אותה ואת המשלים שלה.

לכן 2^{|A|} \leq |X| \leq |Y| = \aleph_0^{|A|}, ולפי התכונות לעיל שני הקצוות שווים. לכן עוצמת X הינה 2^a.


2.

|\mathbb{N}\cup X|=\aleph_0+2^a=2^a

|\mathbb{N}\times X|=\aleph_0\cdot 2^a=2^a

|X|^{|\mathbb{N}|}=(2^a)^{\aleph_0}=2^{a\cdot \aleph_0}=2^a

|\mathbb{N}|^{|X|}=(\aleph_0)^{2^a}=2^{2^a}


ב.

בעצם אנו רוצים לחשב איחוד בן מנייה של קבוצות מעוצמת \aleph. לכל עותק של \aleph נתאים A_n ופונקציה חח"ע ועל f_n:\mathbb{R}\rightarrow A_n. כעת נגדיר פונקציה g:\mathbb{N}\times\mathbb{R}\rightarrow\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_n ע"י g(k,x)=f_k(x). מכיוון שהקבוצות זרות וf_k חח"ע ברור שg חח"ע. מכיוון שf_k על גם g על ולכן סה"כ עוצמת הסכום הינה \aleph_0\cdot\aleph=\aleph

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=88-195_בדידה_לתיכוניסטים_תשעא/מערך_שיעור/שיעור_7&oldid=82010