גרסה מ־09:13, 9 ביוני 2020

תוכן עניינים

1 חומר עזר
2 סרטוני ותקציר הרצאות

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית

פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים

88-101 חשיבה מתמטית - טקסט מבוא ללוגיקה מתמטית שנכתב ע"י פרופ' עוזי וישנה

תרגול

תרגול בנושא לוגיקה

אינדוקציה

תרגול

פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות

קבוצות ופעולות על קבוצות

איבר שייך לקבוצה $a\in A$ אם הוא אחד האיברים בקבוצה.
קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת $A\subseteq B$ אם $\forall a:in A : a\in B$

תהי קבוצה ותהיינה . נגדיר את:
- קבוצת האיחוד $A\cup B =\{ x\in U:x\in A \or x\in B\}$
- קבוצת החיתוך $A\cap B =\{ x\in U:x\in A \and x\in B\}$
- קבוצת ההפרש $A\setminus B =\{ x\in U:x\in A \and x\not\in B\}$
- קבוצת המשלים $\overline{A}=\{x\in U:x\not\in A\}$

שיטות הוכחה בסיסיות

שיטות הוכחה בסיסיות

איחוד וחיתוך כלליים

תהי S קבוצה של קבוצות, נגדיר:
- $\cup_{A\in S}A = \{x|\exists A\in S :x\in A\}$
- $\cap_{A\in S}A = \{x|\forall A\in S :x\in A\}$

קבוצת החזקה

$X\in P(A) \iff X\subseteq A$

תרגול

תרגול בנושא קבוצות

פרק 3 - יחסים

מכפלה קרטזית ויחסים

תכונות של יחסים

יהי R יחס על A (כלומר ) אזי:
- R נקרא רפקסיבי אם לכל $a\in A$ מתקיים $aRa$ .
- R נקרא סימטרי אם לכל $a,b\in A$ המקיימים $aRb$ מתקיים $bRa$
- R נקרא אנטי-סימטרי אם לכל $a,b\in A$ המקיימים $aRb\and bRa$ מתקיים $a=b$
- R נקרא רפלקסיבי אם לכל $a,b,c\in A$ המקיימים $aRb \and bRc$ מתקיים $aRc$
- R נקרא מלא אם לכל $a,b\in A$ מתקיים כי $aRb\or bRa$

יהי R יחס מA לB (כלומר ) אזי:
- R נקרא חד-ערכי (ח"ע) אם לכל $a\in A$ ולכל $b_1,b_2\in B$ המקיימים $aRb_1 \and aRb_2$ מתקיים $b_1=b_2$
- R נקרא שלם אם לכל $a\in A$ קיים $b\in B$ כך ש $aRb$
- R נקרא חד-חד-ערכי (חח"ע) אם לכל $a_1,a_2\in A$ ולכל $b\in B$ המקיימים $a_1Rb\and a_2Rb$ מתקיים $a_1=a_2$
- R נקרא על אם לכל $b\in B$ קיים $a\in A$ כך ש $aRb$

יחסי שקילות

תרגול

תרגול מכפלה קרטזית ויחסי שקילות

יחסי סדר

איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים

תרגול

תרגול יחסי סדר

פרק 4 - פונקציות

הגדרת פונקציות

חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה

הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות

פונקציה מוגדרת היטב

תרגול

תרגול בנושא פונקציות

תרגול נוסף בנושא פונקציות

פרק 5 - עוצמות

מבוא

השוואת עוצמות

A שקולת עוצמה לB או עוצמתה של A שווה לB, אם קיימת פונקציה הפיכה (חח"ע ועל) $f:A\to B$ .
במקרה זה מסמנים או .
- כל קבוצה שקולת עוצמה לעצמה
- אם A שקולת עוצמה לB, גם B שקולת עוצמה לA
- אם A שקולת עוצמה לB וB שקולת עוצמה לC אזי A שקולת עוצמה לC

עוצמתה של A קטנה או שווה לזו של B, אם קיימת פונקציה חח"ע $f:A\to B$ .
במקרה זה מסמנים $|A|\leq |B|$

כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הטבעיים מסומנת $|A|=\aleph_0$

כל קבוצה A השקולת עוצמה לקבוצת הממשיים מסומנת $|A|=\aleph$

משפט קנטור

$|A|<|P(A)|$

קבוצות בנות מנייה

קבוצה A נקראת בת מנייה אם $|A|\leq \aleph_0$

כל קבוצה A בת מנייה אינסופית מקיימת $|A|=\aleph_0$

חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)

חיבור עוצמות

תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות זרות לעוצמות A,B.
נגדיר $a+b=|A\cup B|$ , הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.

כפל עוצמות

תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.
נגדיר $a\cdot b=|A\times B|$ , הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.

חזקת עוצמות

תהיינה שתי עוצמות a,b ותהיינה שתי נציגות לעוצמות A,B.
נגדיר את $A^B$ להיות אוסף כל הפונקציות מB לA (מהמעריך לבסיס).
נגדיר $a^b=|A^B|$ , הגדרה זו אינה תלוייה בבחירת הנציגות.

חוקי חזקות
תהיינה עוצמות a,b,c אזי
- $a^b\cdot a^c = a^{b+c}$
- $(a^b)^c = a^{b\cdot c}$
- $a^b\cdot c^b = (a\cdot c)^b$

עוצמת קבוצת החזקה

$|P(A)|=2^{|A|}$

השוואת חשבון עוצמות

תהיינה עוצמות a,b,c,d כך ש וכן אזי:
- $a+b\leq c+d$
- $a\cdot b\leq c\cdot d$
אם בנוסף נתון כי אזי
- $a^b\leq c^d$

משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין

אם $|A|\leq |B|$ וגם $|B|\leq |A|$ אזי $A\sim B$

למת נקודת השבת

תהי פונקציה עולה $h:P(A)\to P(A)$ כלומר המקיימת לכל $X_1\subseteq X_2$ כי $h(X_1)\subseteq h(X_2)$
אזי קיימת נק' שבת $K\subseteq A$ כך ש $h(K)=K$ .

הוכחת המשפט

עוצמות קטעים ממשיים

$|\mathbb{R}|=|[a,\infty)|=|[a,b]|=|(a,b)|=\aleph$

איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה

תהי S קבוצה בת מנייה של קבוצות בנות מנייה, כלומר:
- $|S|\leq\aleph_0$
- $\forall X\in S:|X|\leq\aleph_0$
אזי גם האיחוד הכללי הוא בן מנייה:
- $|\cup_{X\in S}X|\leq \aleph_0$

מסקנה: אוסף תתי הקבוצות הסופיות של המספרים הטבעיים הוא בן מנייה.

אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף

אקסיומת הבחירה

תהי S קבוצת קבוצת לא ריקות, ונסמן את האיחוד הכללי ב $U=\cup_{X\in S}X$ .
אזי קיימת פונקצית בחירה הבוחרת איבר מתוך כל קבוצה, כלומר:
- $\forall X\in S: f(X)\in X$

דוגמא:
- תהי פונקציה על $f:A\to B$ אזי קיימת תת קבוצה $X\subseteq A$ כך ש $f:X\to B$ חח"ע ועל.

תהיינה $A,B\neq\emptyset$ אזי $|A|\leq |B|$ אם ורק אם קיימת $g:B\to A$ על.

עקרון המקסימום של האוסדורף

תהי קבוצה A עם יחס סדר חלקי, תת קבוצה $S\subseteq A$ נקראת שרשרת אם היחס מלא עליה (ניתן להשוות בין כל שני איברים בS).
שרשרת נקראת מקסימלית בA אם היא אינה מוכלת באף שרשרת אחרת.
עקרון המקסימום של האוסדורף אומר שכל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.

דוגמא - אוסף עיגולים במישור שאינם חותכים זה את זה, ולא ניתן להוסיף אפילו עיגול אחד נוסף.

אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר

(בהנחת עקרון המקסימום של האוסדורף)

תהי A קבוצה אינסופית, אזי $\aleph_0\leq A$

תהי A קבוצה אינסופית, ותהי B קבוצה סופית, אזי:
- $|A|=|A\cup B|=|A\setminus B|$

השוואת עוצמות

(בהנחת עיקרון המקסימום של האוסדורף)

תהיינה שתי קבוצות A,B אזי $|A|\leq|B|$ או $|A|\geq |B|$

סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות

תהיינה עוצמות אזי:
- $b\leq a+b$
נניח בנוסף כי אזי:
- $a+b\leq a\cdot b$
נניח בנוסף כי b אינסופית, ונקבל ביחד
- $b\leq a+b \leq a\cdot b\leq b\cdot b =b$ (המעבר $b\cdot b=b$ מוכח בסרטון השני).
ולכן לפי משפט ק.ש.ב נקבל כי
- $a+b=a\cdot b = b$

תהי עוצמה אינסופית b אזי $b\cdot b=b$

הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים

$2^{\aleph_0}=\aleph$ כלומר $P(\mathbb{N})\sim\mathbb{R}$

@@ שורה 82: / שורה 82: @@
 **R נקרא אנטי-סימטרי אם לכל <math>a,b\in A</math> המקיימים <math>aRb\and bRa</math> מתקיים <math>a=b</math>
 **R נקרא רפלקסיבי אם לכל <math>a,b,c\in A</math> המקיימים <math>aRb \and bRc</math> מתקיים <math>aRc</math>
+**R נקרא מלא אם לכל <math>a,b\in A</math> מתקיים כי <math>aRb\or bRa</math>
 *יהי R יחס מA לB (כלומר <math>R\subseteq A\times B</math>) אזי:
-**R
+**R נקרא חד-ערכי (ח"ע) אם לכל <math>a\in A</math> ולכל <math>b_1,b_2\in B</math> המקיימים <math>aRb_1 \and aRb_2</math> מתקיים <math>b_1=b_2</math>
+**R נקרא שלם אם לכל <math>a\in A</math> קיים <math>b\in B</math> כך ש <math>aRb</math>
+**R נקרא חד-חד-ערכי (חח"ע) אם לכל <math>a_1,a_2\in A</math> ולכל <math>b\in B</math> המקיימים <math>a_1Rb\and a_2Rb</math> מתקיים <math>a_1=a_2</math>
+**R נקרא על אם לכל <math>b\in B</math> קיים <math>a\in A</math> כך ש <math>aRb</math>
 ===יחסי שקילות===

הבדלים בין גרסאות בדף "מתמטיקה בדידה - ארז שיינר"

גרסה מ־09:13, 9 ביוני 2020

תוכן עניינים

חומר עזר

סרטוני ותקציר הרצאות

פרק 1 - מבוא ללוגיקה מתמטית

פסוקים, קשרים, כמתים, פרדיקטים

תרגול

אינדוקציה

תרגול

פרק 2 - מבוא לתורת הקבוצות

קבוצות ופעולות על קבוצות

שיטות הוכחה בסיסיות

איחוד וחיתוך כלליים

קבוצת החזקה

תרגול

פרק 3 - יחסים

מכפלה קרטזית ויחסים

תכונות של יחסים

יחסי שקילות

תרגול

יחסי סדר

איברים מינימליים ומקסימליים, וחסמים

תרגול

פרק 4 - פונקציות

הגדרת פונקציות

חח"ע ועל, תמונה ותמונה הפוכה

הרכבת פונקציות, פונקציות הפיכות

פונקציה מוגדרת היטב

תרגול

פרק 5 - עוצמות

מבוא

השוואת עוצמות

משפט קנטור

קבוצות בנות מנייה

חשבון עוצמות (אריתמטיקה של עוצמות)

חיבור עוצמות

כפל עוצמות

חזקת עוצמות

עוצמת קבוצת החזקה

השוואת חשבון עוצמות

משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין

למת נקודת השבת

הוכחת המשפט

עוצמות קטעים ממשיים

איחוד בן מנייה של קבוצות בנות מנייה

אקסיומת הבחירה ועקרון המקסימום של האוסדורף

אקסיומת הבחירה

עקרון המקסימום של האוסדורף

אלף אפס היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר

השוואת עוצמות

סכום ומכפלה של עוצמות אינסופיות שווה לגדולה מבין העוצמות

הקשר בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים

תרגול

תפריט הניווט

חיפוש