הבדלים בין גרסאות בדף "חתכי דדקינד"
מתוך Math-Wiki
(←יחס סדר) |
(←יחס סדר) |
||
שורה 108: | שורה 108: | ||
***אם קיים <math>0>m\notin A</math> אזי <math>0<-\frac{m}{2}\in -A</math> בסתירה. | ***אם קיים <math>0>m\notin A</math> אזי <math>0<-\frac{m}{2}\in -A</math> בסתירה. | ||
**לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר <math>0_D\subseteq A</math> ולכן <math>A\geq 0_D</math> | **לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר <math>0_D\subseteq A</math> ולכן <math>A\geq 0_D</math> | ||
+ | |||
+ | ==כפל חתכי דדקינד== | ||
+ | |||
+ | *יהיו שני חתכי דדקינד '''אי שליליים''' <math>0_D\leq A,B</math> |
גרסה מ־12:25, 7 בספטמבר 2020
תוכן עניינים
הקדמה
- אנחנו מעוניינים שבמערכת המספרים שלנו יהיה פתרון למשוואה (שורש שתיים).
- הרי אחרת, מה המרחק מהנקודה לראשית הצירים ?
- האם ייתכן שהפרבולה עולה מהנקודה אל הנקודה בלי לחתוך את ציר האיקס?
- כיוון שאין פתרון למשוואה זו בשדה הרציונאליים, אנחנו רוצים לבנות את שדה הממשיים.
- כיצד ניתן לתאר את נקודת החיתוך החיובית של הפרבולה עם ציר האיקס באמצעות המספרים הרציונאליים אם כך?
(נבנה באמצעות גאוגברה.)
- ובכן, ניתן לומר שציר המספרים מתחלק לשניים - לפני שורש שתיים ואחרי שורש שתיים.
- כלומר, אולי אנחנו יכולים לייצג את נקודת החיתוך על ידי אוסף הנקודות שקטנות ממנה , זו הקרן באיור.
- הרעיון הזה של חיתוך ציר הרציונאליים סביב נקודה בלתי קיימת הוליד את חתכי דדקינד.
חתכי דדקינד
- הגדרה: חתך דדקינד הוא קבוצה המקיימת:
- חסומה מלעיל.
- לכל מתקיים כי אם ורק אם חסם מלעיל של
- הערות ותזכורות:
- חסם מלעיל של קבוצה הוא מספר שגדול יותר מכל איברי הקבוצה.
- בחתך דדקינד אין מספר גדול ביותר, אחרת זה היה חסם מלעיל ששיך לקבוצה.
- אם מספר שייך לחתך, בוודאי כל מספר נמוך ממנו שייך לחתך הרי לא ייתכן שמספר נמוך ממנו הוא חסם מלעיל.
- הקרן באיור לעיל היא חתך דדקינד שתפקידו להגדיר את שורש שתיים.
- כיצד ניתן להתייחס לקבוצות כאלה בתור מספרים?
- עלינו להגיד פעולות בין חתכי דדקינד ולהוכיח שמדובר בשדה.
- כאשר נגדיר את הפעולות, נזכור שמטרתינו היא להגדיר את הנקודות "החסרות" על הציר.
חיבור חתכי דדקינד
- יהיו שתי חתכים , נגדיר את החיבור:
- החיבור הוא חתך דדקינד בעצמו:
- כיוון שA,B אינן ריקות גם A+B אינה ריקה.
- סכום חסמי מלעיל של A וB חוסם את A+B.
- יהי , כיוון שאיברי החתכים אינם חסמי מלעיל, קיימים וכן ולכן ו אינו חסם מלעיל של
- יהי שאינו חסם מלעיל של , לכן קיימים . כעת כלומר אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לקבוצה. סה"כ .
חתך האפס
- נגדיר את חתך האפס, בהמשך נוכיח שהוא נייטרלי לחיבור.
נגדי
- יהי חתך A, נגדיר את הנגדי:
- לדוגמא
- הנגדי הוא חתך דדקינד בעצמו:
- הנגדי לא ריק:
- כיוון שA חסומה מלעיל יש לה חסם, וכל המספרים שקטנים ממינוס החסם שייכים לנגדי, ולכן
- הנגדי חסום מלעיל:
- יהי לכן לכל מתקיים כי ולכן
- לכל קיים כך ש ולכן
- בעצם הנגדי של כל איבר בA הוא חסם מלעיל של .
- כל איבר בנגדי אינו חסם מלעיל:
- לכל איבר בנגדי לכן אמצע הקטע בין גדול מ וקטן מ ולכן שייך לנגדי ולכן אינו חסם מלעיל.
- אם איבר אינו חסם מלעיל, הוא שייך לנגדי:
- נניח אינו חסם מלעיל של לכן קיים ולכן קיים כך ש ולכן
- הנגדי לא ריק:
יחס סדר
- יחס ההכלה הוא יחס סדר לינארי (מלא) על קבוצת חתכי דדקינד
- הוכחה:
- יהיו שני חתכים A,B.
- אם קיים חסם מלעיל של A כך ש אזי כל איבר של A אינו חסם מלעיל של B ולכן שייך לB, כלומר
- אחרת, לכל מתקיים כי . כלומר ולכן
- נגדיר את החתכים החיוביים להיות כל החתכים A כך ש ונגדיר את החתכים השליליים על ידי
- טענה: אם ורק אם
- הוכחה:
- ראשית נניח כי
- כלומר בעצם ולכן לכל חסם מלעיל מתקיים כי .
- לכן לכל מתקיים כי
- כלומר כל האיברים ב שליליים, ולכן כלומר
- בכיוון ההפוך, נניח כי
- לכן כל האיברים ב שליליים.
- אם קיים אזי בסתירה.
- לכן כל המספרים השליליים שייכים לA, כלומר ולכן
- ראשית נניח כי
כפל חתכי דדקינד
- יהיו שני חתכי דדקינד אי שליליים