הבדלים בין גרסאות בדף "אנליזת פורייה ויישומים קיץ תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(הגהה, שיפוץ קודים מתמטיים)
 
שורה 2: שורה 2:
 
'''הגדרה:''' הפונקציה <math>f:[-\pi,\pi]\to\C</math> תקרא ''רציפה למקוטעין'' אם:
 
'''הגדרה:''' הפונקציה <math>f:[-\pi,\pi]\to\C</math> תקרא ''רציפה למקוטעין'' אם:
 
:#ל־<math>f</math> יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
 
:#ל־<math>f</math> יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
−
:#בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדיים. כלומר, אם <math>x_0</math> אי־רציפות אזי <math>\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)</math> קיימים במובן הצר.
+
:#בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדדיים. כלומר, אם <math>x_0</math> אי־רציפות אזי <math>\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)</math> קיימים במובן הצר.
  
 
{{פס|{{הערה|הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.}}}}
 
{{פס|{{הערה|הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.}}}}
שורה 9: שורה 9:
 
#סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
 
#סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
 
#הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.
 
#הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.
−
לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־<math>E</math>. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־<math>\langle f,g\rangle=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}\mathrm dx</math>.
+
לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־<math>E</math>. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־<math>\displaystyle\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx</math>.
  
−
=== משפט ===
+
===משפט===
−
סדרת הפונקציות <math>\left\{\frac1\sqrt2,\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\dots\right\}</math> היא מערכת אורתונורמלית ב־<math>E</math>.
+
סדרת הפונקציות <math>\left\{\frac{1}{\sqrt2},\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\ldots\right\}</math> היא מערכת אורתונורמלית ב־<math>E</math>.
  
−
==== הוכחה ====
+
====הוכחה====
−
נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג איברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל איבר היא 1:
+
נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג אברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל אבר היא 1:
−
{{left|<math>\begin{align}\left\langle\frac1\sqrt2,\sin(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\sin(nx)\mathrm dx=\left[-\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\cos(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac1\sqrt2,\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac1\sqrt2\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac1\pi\\frac1\sqrt2\frac1n\sin(nx)\right]_{x=-\pi}^\pi=\frac1{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\sin(mx),\cos(nx)\right\rangle&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}2\mathrm dx=-\frac1{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{x=-\pi}^\pi=0\end{align}</math>}}
+
:<math>\begin{align}\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\sin(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\sin(nx)dx=\left[-\frac{1}{\sqrt2\pi n}\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\cos(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\cos(nx)dx=\left[\frac{1}{\sqrt2\pi n}\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\bigl\langle\sin(mx),\cos(nx)\bigr\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}{2}dx\\&=-\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{-\pi}^\pi=0\end{align}</math>
  
−
הערה: נעזרנו ב־<math>\sin(\alpha)\cos(\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2</math>
+
הערה: נעזרנו בזהות <math>\sin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}</math>. דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים:
−
דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים: <math>\int\sin(mx)\cos(nx)\mathrm dx=\left[\frac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{x=-\pi}^\pi=0</math>. עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.
+
:<math>\int\sin(mx)\cos(nx)dx=\left[\dfrac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{-\pi}^\pi=0</math>
 +
עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.
  
−
באותו אופן ניתן להראות ש־<math>\langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0</math>.
+
באותו אופן ניתן להראות כי <math>\langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0</math>.
  
−
עתה נראה שהנומה של כל איבר היא 1:
+
עתה נראה שהנורמה של כל אבר היא 1:
−
{{left|<math>\begin{align}\left\|\frac1\sqrt2\right\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\mathrm dx}{\sqrt2^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|sin(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\sin^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}2\mathrm dx=\frac1\pi\left[\frac x2-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{x=-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\cos^2(nx)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}2\mathrm dx=1\end{align}</math>}}
+
:<math>\begin{align}\left\|\frac{1}{\sqrt2}\right\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{dx}{\sqrt{2}^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|\sin(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}{2}dx=\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}{2}dx=1\end{align}</math>
  
−
== מערכת סגורה ==
+
==מערכת סגורה==
−
'''הגדרה:''' תהי <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math>. המערכת תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם <math>\forall\mathbf u\in V:\ \lim_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>.
+
'''הגדרה:''' תהי <math>\{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\}</math> מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ <math>V</math>. המערכת תקרא ''סגורה'' ב־<math>V</math> אם
 +
:<math>\forall\mathbf u\in V:\ \lim\limits_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum\limits_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0</math>
  
−
'''מסקנה''': ניתן להציג כל <math>f</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האיברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.
+
'''מסקנה''': ניתן להציג כל <math>f</math> בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.
 +
:<math>\begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac{1}{\sqrt2}\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt2}dx\right)\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx\right)}_{b_n}\sin(nx)\\3.&\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx\right)}_{a_n}\cos(nx)\end{align}</math>
  
−
{{left|<math>\begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac1\sqrt2\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac1\sqrt2\mathrm dx\right)\frac1\sqrt2=\frac1{2\pi}\itn\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\left(\underbrace{\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx}_{b_n}\right)\sin(nx)\\3.\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\left(\underbrace{\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx}_{a_n}\right)\cos(nx)\end{align}</math>}}
+
לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה:
 +
:<math>\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)\\\begin{cases}\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx,&n=0,1,2,\ldots\\\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx,&n=1,2,\ldots\end{cases}</math>
  
−
לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה: <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases}</math>
+
==טור פורייה==
−
 
+
תהי <math>f\in E</math>. הטור שמצאנו נקרא טור פורייה של <math>f</math> ויסומן
−
== טור פורייה ==
+
:<math>\displaystyle f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math>
−
תהי <math>f\in E</math>. הטור <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math> כאשר <math>\begin{cases}a_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx,&n=0,1,2,\dots\\b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx,&n=1,2,\dots\end{cases}</math> נקרא טור פורייה של <math>f</math> ויסומן <math>f(x)\~{}\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)</math>.
+
  
 
=== פונקציות זוגיות ואי־זוגיות ===
 
=== פונקציות זוגיות ואי־זוגיות ===
 
'''תכונות:'''
 
'''תכונות:'''
−
* מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
+
*מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
−
* מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
+
*מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
−
* מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.
+
*מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.
  
−
==== משפט ====
+
====משפט====
 
תהי <math>f\in E</math>.
 
תהי <math>f\in E</math>.
−
* אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
+
*אם <math>f</math> זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
−
* אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור סינוסים".
+
*אם <math>f</math> אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא <math>\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx)</math>. טור כזה נקרא "טור סינוסים".
  
−
==== תרגיל ====
+
====תרגיל====
−
מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\\-2,&x<0\end{cases}</math> בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.
+
מצא טור פורייה של <math>f(x)=\begin{cases}-2&:\!x<0\\1&:\!x\ge0\end{cases}</math> בקטע <math>[-\pi,\pi]</math>.
  
−
===== פתרון =====
+
=====פתרון=====
−
ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים{{left|<math>\begin{align}a_0&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^0 -2\mathrm dx+\frac1\pi\int\limtis_0^\pi\mathrm dx=\frac1\pi[-2x]_{x=-\pi}^0+\frac1\pi[x]_{x=0}^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\mathrm dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\mathrm dx=\begin{cases}0,&n\in2\mathbb Z\\\frac6{\pi n},&n\in2\mathbb Z+1\end{cases}</math>}}
+
ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים
−
ולכן <math>f(x)\~{}-\frac12+\sum_{n=1}\frac6{(2n-1)\pi\sin((2n-1)x)</math>. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האיבר <math>-\frac12</math> שבהתחלה.
+
:<math>\begin{align}a_0&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^0 -2\,dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi dx=\frac{1}{\pi}[-2x]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}[x]_0^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&:\!n\in2\Z\\\dfrac{6}{\pi n}&:\!n\in2\Z+1\end{cases}\end{align}</math>
 +
ולכן <math>f(x)\sim-\dfrac12+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{6}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)x)</math>. נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האבר <math>-\frac12</math> שבהתחלה.
  
−
==== תרגיל ====
+
====תרגיל====
 
מצא טור פורייה של <math>f(x)=x</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math>.
 
מצא טור פורייה של <math>f(x)=x</math> ב־<math>[-\pi,\pi]</math>.
  
−
===== פתרון =====
+
=====פתרון=====
−
<math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים: <math>b_n=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)\mathrm dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}n\end{bmatrix}=2\left[-\frac{x\cos(nx)}n\right]_{x=0}^\pi+\frac2\pi\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}n\mathrm dx=\frac2\pi\left(\frac{-\pi(-1)^n}n+\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_{x=0}^\pi=\frac{2(-1)^{n+1}}n</math>, כלומר <math>x\~{}\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}n\sin(nx)</math>.
+
<math>f</math> אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים:
 +
:<math>\begin{align}b_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}{n}\end{bmatrix}\\&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi+\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n}dx=\frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n}+\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^\pi=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\end{align}</math>
 +
כלומר <math>x\sim\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)</math>.
  
−
==== תרגיל ====
+
====תרגיל====
−
נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\mathbb C</math> נגדיר <math>G(a,b,c)=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|\mathrm dx</math>. עברו אילו ערכים של <math>a,b,c</math> מקבלת <math>G</math> את ערכה המינימלי?
+
נתונה <math>f\in E[-\pi,\pi]</math>. לכל <math>a,b,c\in\C</math> נגדיר
 +
:<math>G(a,b,c)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|dx</math>
 +
עבור אלה ערכי <math>a,b,c</math> מקבלת <math>G</math> את ערכה המינימלי?
  
−
===== פתרון =====
+
=====פתרון=====
−
נשים לב ש־<math>G(a,b,c)=\|f(x)-{\color{Blue}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\|^2</math>. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגנולי של <math>f</math> אז מובטח לנו ש־<math>G(a,b,c)</math> מקבל את ערכו המינימלי. נפתור זאת: {{left|<math>\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\frac{\tfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx}{\tfrac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi\mathrm dx}=\frac1{2\pi}\int\limtis_{-\pi}^\pi f(x)\mathrm dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|cos\|^2}=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)\mathrm dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)\mathrm dx\end{align}</math>}}
+
נשים לב כי <math>G(a,b,c)=\Big\|f(x)-{\color{#0000FF}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\Big\|^2</math>. אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגונלי של <math>f</math> אזי מובטח לנו כי <math>G(a,b,c)</math> מקבלת את ערכה המינימלי. נפתור זאת:
 +
:<math>\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx}{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi dx}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|\cos\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)dx\end{align}</math>
  
 
----
 
----
  
−
נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> ולאיבר <math>x=\left\{\frac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. מתקיים <math>\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n</math> אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא <math>\frac{16}{85}</math>. לכן, <math>\|x\|_2=\frac4\sqrt{85}</math>. {{משל}}
+
נתייחס למרחב הלינארי <math>\ell_2</math> ולאבר <math>x=\left\{\dfrac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty</math>. מתקיים
 +
:<math>\displaystyle\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n</math>
 +
אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא <math>\frac{16}{85}</math>. לכן <math>\|x\|_2=\frac{4}{\sqrt{85}}</math>. {{משל}}

גרסה אחרונה מ־20:47, 13 בינואר 2021

פונקציה רציפה למקוטעין

הגדרה: הפונקציה f:[-\pi,\pi]\to\C תקרא רציפה למקוטעין אם:

  1. ל־f יש לכל היותר מספר סופי של נקודות אי־רציפות.
  2. בכל נקודת אי־רציפות קיימים הגבולות החד־צדדיים. כלומר, אם x_0 אי־רציפות אזי \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x),\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) קיימים במובן הצר.

הערה: מובן שניתן לדבר גם על פונקציות רציפות למקוטעין בתחומים אחרים, אולם אנו לא נעסוק בהן.

תכונות

  1. סכום, הפרש או כפל של פונקציות רציפות למקוטעין גם היא רציפה למקוטעין.
  2. הכפלה של פונקציה רציפה למקוטעין בסקלר היא פונקציה רציפה למקוטעין.

לפיכך מתקיימים התנאים לתת־מרחב לינארי, כלומר קבוצת הפונקציות הרציפות למקוטעין הוא מרחב לינארי. נסמן מרחב זה ב־E. המכפלה הפנימית בו מוגדרת כ־\displaystyle\langle f,g\rangle=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx.

משפט

סדרת הפונקציות \left\{\frac{1}{\sqrt2},\sin(x),\cos(x),\sin(2x),\cos(2x),\ldots\right\} היא מערכת אורתונורמלית ב־E.

הוכחה

נראה כי מכפלה פנימית של כל זוג אברים שונים במערכת שווה ל־0, ושנורמה של כל אבר היא 1:

\begin{align}\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\sin(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\sin(nx)dx=\left[-\frac{1}{\sqrt2\pi n}\cos(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{-1}{\sqrt2\pi n}\Big(\cos(n\pi)-\cos(n\pi)\Big)=0\\\left\langle\frac{1}{\sqrt2},\cos(nx)\right\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{\sqrt2}\cos(nx)dx=\left[\frac{1}{\sqrt2\pi n}\sin(nx)\right]_{-\pi}^\pi=\frac{1}{\sqrt2\pi n}\Big(\sin(n\pi)-\sin(n\pi)\Big)=0\\\bigl\langle\sin(mx),\cos(nx)\bigr\rangle&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(mx)\cos(nx)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{\sin((n+n)x)+\sin((m-n)x)}{2}dx\\&=-\frac{1}{2\pi}\left[\frac{\cos((m+n)x)}{m+n}+\frac{\cos((m-n)x)}{m-n}\right]_{-\pi}^\pi=0\end{align}

הערה: נעזרנו בזהות \sin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}. דרך נוספת תהיה להשתמש פעמיים באינטגרציה בחלקים:

\int\sin(mx)\cos(nx)dx=\left[\dfrac{n\sin(mx)\sin(nx)-m\cos(mx)\cos(nx)}{1-m^2}\right]_{-\pi}^\pi=0

עדיף לבדוק לפני ביצוע האינטגרציה אם מדובר בפונקציה זוגית או אי־זוגית.

באותו אופן ניתן להראות כי \langle\sin(mx),\sin(nx)\rangle=\langle\cos(mx),\cos(nx)\rangle=0.

עתה נראה שהנורמה של כל אבר היא 1:

\begin{align}\left\|\frac{1}{\sqrt2}\right\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{dx}{\sqrt{2}^2}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\\|\sin(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1-\cos(2nx)}{2}dx=\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2nx)}{4n}\right]_{-\pi}^\pi=1\\\|\cos(nx)\|^2&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\cos(nx)^2dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1+\cos(2nx)}{2}dx=1\end{align}

מערכת סגורה

הגדרה: תהי \{\mathbf e_1,\mathbf e_2,\dots\} מערכת אורתונורמלית אינסופית במרחב מ״פ V. המערכת תקרא סגורה ב־V אם

\forall\mathbf u\in V:\ \lim\limits_{n\to\infty}\left\|\mathbf u-\sum\limits_{k=1}^n\langle\mathbf u,\mathbf e_k\rangle\mathbf e_k\right\|=0

מסקנה: ניתן להציג כל f בעזרת צירוף לינארי אינסופי של האברים השייכים למערכת האורתונורמלית האינסופית. נמצא את סדרת מקדמי פורייה עבור המערכת האורתונורמלית החדשה שהגדרנו.

\begin{align}1.&\mathbf e_1(x)=\frac{1}{\sqrt2}\\&a_0:=\langle f,\mathbf e_1\rangle\mathbf e_1=\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\frac{1}{\sqrt2}dx\right)\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\2.&\mathbf e_n=\sin(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx\right)}_{b_n}\sin(nx)\\3.&\mathbf e_n=\cos(nx)\\&\langle f,\mathbf e_n\rangle\mathbf e_n=\underbrace{\left(\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx\right)}_{a_n}\cos(nx)\end{align}

לסיכום, ניתן לרשום את כל הטור בצורה הבאה:

עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)\\\begin{cases}\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx,&n=0,1,2,\ldots\\\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx,&n=1,2,\ldots\end{cases}


טור פורייה

תהי f\in E. הטור שמצאנו נקרא טור פורייה של f ויסומן

\displaystyle f(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\Big(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\Big)

פונקציות זוגיות ואי־זוגיות

תכונות:

  • מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית.
  • מכפלה של פונקציות אי־זוגיות היא זוגית.
  • מכפלה של פונקציה זוגית ופונקציה אי־זוגית היא אי־זוגית.

משפט

תהי f\in E.

  • אם f זוגית אז טור פורייה שלה הוא \dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos(nx). טור כזה נקרא "טור קוסינוסים".
  • אם f אי־זוגית אז טור פורייה שלה הוא \sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin(nx). טור כזה נקרא "טור סינוסים".

תרגיל

מצא טור פורייה של f(x)=\begin{cases}-2&:\!x<0\\1&:\!x\ge0\end{cases} בקטע [-\pi,\pi].

פתרון

ראשית, נשים לב שהפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית. מתקיים

\begin{align}a_0&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^0 -2\,dx+\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi dx=\frac{1}{\pi}[-2x]_{-\pi}^0+\frac{1}{\pi}[x]_0^\pi=-2+1=-1\\a_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)dx=0\\b_n&=\frac1\pi\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)dx=\begin{cases}0&:\!n\in2\Z\\\dfrac{6}{\pi n}&:\!n\in2\Z+1\end{cases}\end{align}

ולכן f(x)\sim-\dfrac12+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{6}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)x). נשים לב שזה עדיין לא טור סינוסים, בגלל האבר -\frac12 שבהתחלה.

תרגיל

מצא טור פורייה של f(x)=x ב־[-\pi,\pi].

פתרון

f אי־זוגית ולכן נחשב לה טור סינוסים:

\begin{align}b_n&=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x\sin(nx)dx=\begin{bmatrix}u=x&u'=1\\v'=\sin(nx)&v=-\frac{\cos(nx)}{n}\end{bmatrix}\\&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^\pi+\frac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi\frac{\cos(nx)}{n}dx=\frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n}+\frac{2}{\pi}\left[\frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_0^\pi=\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\end{align}

כלומר x\sim\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).

תרגיל

נתונה f\in E[-\pi,\pi]. לכל a,b,c\in\C נגדיר

G(a,b,c)=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi|f(x)+a+b\cos(x)+c\sin(x)|dx

עבור אלה ערכי a,b,c מקבלת G את ערכה המינימלי?

פתרון

נשים לב כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): G(a,b,c)=\Big\|f(x)-{\color{#0000FF}(-a-b\cos(x)-c\sin(x))}\Big\|^2 . אם החלק הכחול הוא ההיטל האורתוגונלי של f אזי מובטח לנו כי G(a,b,c) מקבלת את ערכה המינימלי. נפתור זאת:

\begin{align}-a&=\frac{\langle f,1\rangle}{\|1\|^2}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx}{\displaystyle\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi dx}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)dx\\-b&=\frac{\langle f,\cos\rangle}{\|\cos\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(x)dx\\-c&=\frac{\langle f,\sin\rangle}{\|\sin\|^2}=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(x)dx\end{align}

נתייחס למרחב הלינארי \ell_2 ולאבר x=\left\{\dfrac{5^n-3^n}{7^n}\right\}_{n=1}^\infty. מתקיים

\displaystyle\|x\|_2^2=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{5^n-3^n}{7^n}\right)^2=\sum_{n=1}^\infty\frac{25^n-2\cdot15^n+9^n}{49^n}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{25}{49}\right)^n-2\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{15}{49}\right)^n+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac9{49}\right)^n

אלה טורים הנדסיים והתוצאה היא \frac{16}{85}. לכן \|x\|_2=\frac{4}{\sqrt{85}}. \blacksquare

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=אנליזת_פורייה_ויישומים_קיץ_תשעב/סיכומים/הרצאות/1.8.12&oldid=86723