הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"
שורה 77: | שורה 77: | ||
<math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> | <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | עוד נגדיר לכל <math>k</math> אורך תת קטע מספר k = <math>\Delta x_k=x_k-x_{k-1}</math> | ||
+ | |||
+ | והפרמטר של P, <math>\lambda(P)</math> מוגדר ע"י <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> | ||
+ | |||
+ | לכל k, <math>1\le k\le n</math> נגדיר | ||
+ | <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}</math>. | ||
+ | |||
+ | (4) | ||
+ | |||
+ | בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" | ||
+ | 0הסכום העליון | ||
+ | <math>\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> | ||
+ | ושטח חסום תחתון | ||
+ | <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k</math> | ||
+ | |||
+ | משפט 1: עבור כל חלוקה P | ||
+ | |||
+ | <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\bar S(f,P)\le M(b-a)</math> | ||
+ | |||
+ | הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a) | ||
+ | |||
+ | <math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>) | ||
+ | |||
+ | <math>=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\bar S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)</math> | ||
+ | |||
+ | לפי משפט 1 המספרים <math>\bar S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f). | ||
+ | |||
+ | לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)</math>. | ||
+ | |||
+ | === הגדרת האינטגרל לפי דרבו === | ||
+ | תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\bar\int\limits_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\bar\int f</math>. | ||
+ | ---- | ||
+ | דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. | ||
+ | נקח חלוקה כלשהי ל-<math>[a,b]</math> | ||
+ | |||
+ | <math>a=x_0<x_1<\dots<x_n=b</math> לכל k | ||
+ | |||
+ | <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math> | ||
+ | |||
+ | לכן <math>\bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a</math> | ||
+ | |||
+ | ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0</math>. | ||
+ | |||
+ | מכאן <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. | ||
+ | |||
+ | הגדרה: תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | ||
+ | |||
+ | משפט 2: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז | ||
+ | |||
+ | <math>0\le\bar S(f,P)-\bar S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> | ||
+ | <math>0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> | ||
+ | |||
+ | (כאשר <math>\lambda(P)=\max_{1\le k\le n}\Delta x_k</math> ו-<math>\Omega=\sup\{f(x)\}-\inf\{f(x)\}</math>) | ||
+ | |||
+ | ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-<math>\lambda(P)</math> |
גרסה מ־14:55, 20 בפברואר 2011
תוכן עניינים
אינטגרציה
הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).
דוגמת חישוב (ידני) של השטח:
(1)
ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).
נחלק את הקטע :
מעל כל תת קטע קטן
נבנה "מלבן חוסם" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k\over n\right)^2=x_k^2 . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left(k\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
כמו כן, מעל כל קטע קטן נבנה "מלבן חסום" שגובהו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \left(k-1\over n\right)^2=x_{k-1}^2
ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left(k-1\over n\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-.
(2)
ז"א . הדבר נכון לכל . לכן נוכל להשאיף לקבל ולכן
בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך!
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה קדומה ל-f ב-I אם .
דוגמה: ...
משפט 0: אם ו- קדומות ל- בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה: נגדיר לכן
....
לפי תוצאה ממשפט לגראנג'
הגדרה: תהי רציפה בקטע . ...
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי מוגדרת ורציפה ב-. לכל נגדיר אזי לכל .
2) אם קדומה ל- ב- אז .
הוכחה: (א) (3) רואים המטרה .
עולה
כעת לפי ההגדרה
בציור עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): A(x+\Delta x}-A(x)
= השטח הארובה
= בסיס הארובה לכן = הגובה הממוצע של הארובה.
כאשר זה שואף ל- שהיא .
(ב) נתונה פונקציה קדומה אבל מחלק א ידוע שגם פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
לכן
הגישה של דרבו
תהי מוגדרת וחסומה בקטע . נגדיר את התנודה של f ע"י . כעת נגדיר חלוקה P של
עוד נגדיר לכל אורך תת קטע מספר k =
והפרמטר של P, מוגדר ע"י
לכל k, נגדיר וכן .
(4)
בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון ושטח חסום תחתון
משפט 1: עבור כל חלוקה P
הוכחה: (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)
(כי לכל k מתקיים )
לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)
ו"האינטגרל התחתון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)
.
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב- נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב- אם עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\bar\int\limits_a^b f(x)dx
ואם הם שווים אז נגדיר להיות הערך המשותף של ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \bar\int f
.
דוגמהף בקטע כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה . נקח חלוקה כלשהי ל-
לכל k
וכן
לכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \bar S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a
ואילו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0
.
מכאן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0
ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \bar\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \bar S(f,P)=b-a
. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2: תהי מוגדרת וחסומה ב-. תהי P חלוקה של ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(כאשר ו-)
ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-