הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/20.2.11"
שורה 16: | שורה 16: | ||
מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> | מעל כל תת קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> | ||
− | נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left(k\over n\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם < | + | נבנה "מלבן חוסם" שגובהו <math>\left({k\over n}\right)^2=x_k^2</math>. ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם <math> |
− | |||
− | כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\ | + | |
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | line S=\sum_{k=1}^n\frac1n\left({k\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math> | ||
+ | |||
+ | כמו כן, מעל כל קטע קטן <math>[x_{k-1},x_k]</math> נבנה "מלבן חסום" שגובהו <math>\left({k-1\over n}\right)^2=x_{k-1}^2</math> ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום <math>\underline S=\frac1n\sum_{k=1}^n\left({k-1\over n}\right)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^n(k-1)^2=\frac1{n^3}\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}</math> | ||
+ | |||
+ | כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-<math>\underline S\le A\le\overline S</math>. | ||
(2) | (2) | ||
שורה 28: | שורה 35: | ||
<math>\frac13\le A\le\frac13</math> ולכן <math>A=\frac13</math> | <math>\frac13\le A\le\frac13</math> ולכן <math>A=\frac13</math> | ||
− | === בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך | + | === בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך === |
'''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. | '''הגדרה:''' תהי <math>f(x)</math> מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה <math>F(x)</math> קדומה ל-f ב-I אם <math>\forall x\in I:\ F'(x)=f(x)</math>. | ||
שורה 63: | שורה 70: | ||
כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> | כעת לפי ההגדרה <math>A'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> | ||
− | בציור <math>A(x+\Delta x | + | בציור <math>A(x+\Delta x)-A(x)</math> = השטח הארובה |
<math>\Delta x</math> = בסיס הארובה | <math>\Delta x</math> = בסיס הארובה | ||
לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה. | לכן <math>\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</math> = הגובה הממוצע של הארובה. | ||
שורה 71: | שורה 78: | ||
(ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> | (ב) נתונה פונקציה קדומה <math>F(x)</math> אבל מחלק א ידוע שגם <math>A(x)</math> פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-<math>F(x)=A(x)+c</math> | ||
− | לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math> | + | לכן <math>F(b)-F(a)=A(b)+c-\underbrace{(A(a)+c)}_{=0}=A(b)=\int\limits_a^bf(x)dx</math> |
=== הגישה של דרבו === | === הגישה של דרבו === | ||
שורה 90: | שורה 97: | ||
בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" | בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" | ||
0הסכום העליון | 0הסכום העליון | ||
− | <math>\ | + | <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> |
ושטח חסום תחתון | ושטח חסום תחתון | ||
<math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> | <math>\underline S(A,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> | ||
− | <math>\ | + | <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^nm_k\Delta x_k</math> |
משפט 1: עבור כל חלוקה P | משפט 1: עבור כל חלוקה P | ||
− | <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\ | + | <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math> |
− | הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> (כי \sum_{k=1}^n\Delta x_k = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a) | + | הוכחה: <math>m(b-a)=m\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> (כי <math>\sum_{k=1}^n\Delta x_k</math> = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a) |
<math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>) | <math>=\sum_{k=1}^n m\Delta x_k\le \sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k</math> (כי לכל k מתקיים <math>m\le m_k</math>) | ||
− | <math>=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\ | + | <math>=\underline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M_k \Delta x_k=\overline S(f,P)\le\sum_{k=1}^n M\Delta x_k=M\sum_{k=1}^n \Delta x_k=M(b-a)</math> |
− | לפי משפט 1 המספרים <math>\ | + | לפי משפט 1 המספרים <math>\overline S(f,P),\underline S(f,P)</math> חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f). |
− | לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\ | + | לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" <math>\overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)</math> ו"האינטגרל התחתון" <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)</math>. |
=== הגדרת האינטגרל לפי דרבו === | === הגדרת האינטגרל לפי דרבו === | ||
− | תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\ | + | תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math> נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב-<math>[a,b]</math> אם <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\overline\int\limits_a^b f(x)dx</math> ואם הם שווים אז נגדיר <math>\int\limits_a^b f(x)dx</math> להיות הערך המשותף של <math>\underline\int f</math> ו-<math>\overline\int f</math>. |
---- | ---- | ||
דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. | דוגמהף בקטע <math>[a,b]</math> כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה <math>f(x)=\begin{cases}q\quad x\in\mathbb Q\\0\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. | ||
שורה 121: | שורה 128: | ||
<math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math> | <math>M_k=\sup\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=1</math> וכן <math>m_k=\inf\{f(x):\ x_{k-1}\le x\le x_k\}=0</math> | ||
− | לכן <math>\ | + | לכן <math>\overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a</math> |
ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0</math>. | ואילו <math>\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0</math>. | ||
− | מכאן <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\ | + | מכאן <math>\underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0</math> ו-<math>\overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a</math>. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית. |
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | הגדרה: תהי P חלוקה של קטע <math>[a,b]</math>. חלוקה Q של <math>[a,b]</math> נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות. | ||
שורה 131: | שורה 138: | ||
משפט 2: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז | משפט 2: תהי <math>f(x)</math> מוגדרת וחסומה ב-<math>[a,b]</math>. תהי P חלוקה של <math>[a,b]</math> ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז | ||
− | <math>0\le\ | + | <math>0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> |
<math>0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> | <math>0\le\underline S(f,P)-\underline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega</math> | ||
שורה 140: | שורה 147: | ||
הוכחה: מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math>. כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math>. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i'=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i\}</math> ו-<math>M_i''=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math> | הוכחה: מקרה ראשון: <math>r=1</math>. ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת <math>x_i'</math>. כך ש-<math>x_{i-1}<x_i'<x_i</math>. בהתאם לכך נגדיר <math>M_i'=\sup\{f(x):\ x_{i-1}\le x\le x_i\}</math> ו-<math>M_i''=\sup\{f(x):\ x_i'\le x\le x_i\}</math> | ||
כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים <math>k\not=i</math>. לא שינינו כלום. | כעת בכל תת קטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> מתקיים <math>k\not=i</math>. לא שינינו כלום. | ||
− | לכן <math>\ | + | לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)=\underbrace{M_Delta x_i}_{(1)}-\underbrace{(M_i'(x_i'-x_{i-1})+M_i''(x_i-x_i'))}_{(2)}</math> |
− | # תרומת קטע i ל-<math>\ | + | # תרומת קטע i ל-<math>\overline S(f,P)</math> |
− | # תרומת קטע i ל-<math>\ | + | # תרומת קטע i ל-<math>\overline S(f,Q)</math> |
לפי עצם ההגדרות <math>M_i\ge M_i'</math> ו-<math>M_i\ge M_i''</math> | לפי עצם ההגדרות <math>M_i\ge M_i'</math> ו-<math>M_i\ge M_i''</math> | ||
− | לכן <math>\ | + | לכן <math>\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\ge M_i\Delta x_i-(M_i(x_i'-x_{i-1})+M_i(x_i-x_i'))=M_i(\Delta x_i-((x_i'-x_{i-1})+(x_i-x_i')))=M_i(\Delta x_i-(x_i-x_{i-1}))=0</math> |
גרסה מ־15:21, 20 בפברואר 2011
תוכן עניינים
אינטגרציה
הגדרה שגוייה: אינטגרל הוא לא השטח שמתחת לגרף. למעשה, השטח שמתחת לגרף מוגדר להיות תוצאת האינטגרל (כפי שאנחנו מכירים מהחומר לבגרות).
דוגמת חישוב (ידני) של השטח:
(1)
ברור שטחי המלבנים בוודאי גדול משטח הגרף (נתעלם כרגע מהעובדה שלא הגדרנו את האינטגרל ולכן השטח לא מוגדר).
נחלק את הקטע :
מעל כל תת קטע קטן
נבנה "מלבן חוסם" שגובהו . ביחד מלבנים אלו יוצרים שטח חוסם
כמו כן, מעל כל קטע קטן נבנה "מלבן חסום" שגובהו ביחד מלבנים אלה מהווים שטח חסום
כעת אם A מציין את השטח שמתחת לגרף בוודאי ש-.
(2)
ז"א . הדבר נכון לכל . לכן נוכל להשאיף לקבל ולכן
בניית האינטגרל לפי דרבו - אחר כך
הגדרה: תהי מוגדרת בקטע I. נאמר שהפונקציה קדומה ל-f ב-I אם .
דוגמה: ...
משפט 0: אם ו- קדומות ל- בקטע I אז קיים קבוע c כך ש-
הוכחה: נגדיר לכן
....
לפי תוצאה ממשפט לגראנג'
הגדרה: תהי רציפה בקטע . ...
המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי (בצורה אינטואיטיבית): תהי מוגדרת ורציפה ב-. לכל נגדיר אזי לכל .
2) אם קדומה ל- ב- אז .
הוכחה: (א) (3) רואים המטרה .
עולה
כעת לפי ההגדרה
בציור = השטח הארובה = בסיס הארובה לכן = הגובה הממוצע של הארובה.
כאשר זה שואף ל- שהיא .
(ב) נתונה פונקציה קדומה אבל מחלק א ידוע שגם פונקציה קדומה. לפי משפט 0 יש קבוע c כך ש-
לכן
הגישה של דרבו
תהי מוגדרת וחסומה בקטע . נגדיר את התנודה של f ע"י . כעת נגדיר חלוקה P של
עוד נגדיר לכל אורך תת קטע מספר k =
והפרמטר של P, מוגדר ע"י
לכל k, נגדיר וכן .
(4)
בהתאם לכך נגדיר "שטח חוסם" 0הסכום העליון ושטח חסום תחתון
משפט 1: עבור כל חלוקה P
הוכחה: (כי = סכום כל הרווחים בין n נקודות החלוקה = b-a)
(כי לכל k מתקיים )
לפי משפט 1 המספרים חסומים מלעיל ומלרע באופן ב"ת (בלתי תלוי) ב-P (אבל בוודאי תלוי ב-f).
לכן מוגדרים היטב ה"אינטגרל העליון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)
ו"האינטגרל התחתון" עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)
.
הגדרת האינטגרל לפי דרבו
תהי f(x) מוגדרת וחסומה ב- נאמר ש-f אינטגרבילית (דרבו) ב- אם עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\overline\int\limits_a^b f(x)dx
ואם הם שווים אז נגדיר להיות הערך המשותף של ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \overline\int f
.
דוגמהף בקטע כלהו נגדיר את פונקצית דיריכלה . נקח חלוקה כלשהי ל-
לכל k
וכן
לכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \overline S(f,P)=\sum_{k=1}^n M_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 1\Delta x_k=b-a
ואילו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n m_k\Delta x_k=\sum_{k=1)^n 0\Delta x_k=0
.
מכאן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \underline\int\limits_a^b f(x)dx=\sup_P \underline S(f,P)=0
ו-עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \overline\int\limits_a^b f(x)dx=\inf_P \overline S(f,P)=b-a
. הם לא שווים ולכן f לא אינטגרבילית.
הגדרה: תהי P חלוקה של קטע . חלוקה Q של נקראת עידון או העדנה של P אם Q מכילה את כל נקודות החלוקה של P ועוד נקודות.
משפט 2: תהי מוגדרת וחסומה ב-. תהי P חלוקה של ו-Q עידון של P ע"י הוספת r נקודות. אז
(כאשר ו-)
ז"א הסכום העליון יורד והסכום התחתון עולה ע"י עידון אבל השינוי בהם קטן מ-
הוכחה: מקרה ראשון: . ז"א Q מתקבלת מ-P ע"י הוספת נקודה אחת . כך ש-. בהתאם לכך נגדיר ו- כעת בכל תת קטע מתקיים . לא שינינו כלום. לכן
- תרומת קטע i ל-
- תרומת קטע i ל-
לפי עצם ההגדרות ו- לכן