הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11"
שורה 54: | שורה 54: | ||
ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math> | ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0\implies\overline .I=\underline I</math> | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | '''''יש טעות, היא תתוקן בהמשך'''''. | ||
'''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית. | '''דוגמה 2:''' חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית. | ||
שורה 64: | שורה 67: | ||
<math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math> | <math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math> | ||
+ | ---- | ||
+ | '''ד<math>|f|</math>וגמה 3:''' הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | ||
+ | |||
+ | '''פתרון:''' הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה <math>f(x)=\begin{cases}1\quad x\in\mathbb Q\\-1\quad x\not\in\mathbb Q\end{cases}</math>. ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס. | ||
+ | |||
+ | '''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר. | ||
+ | |||
+ | '''דוגמה 4:''' הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,d]\subseteq[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | ||
+ | |||
+ | '''הוכחה:''' רוצים להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> המקיימת ב-<math>[a,b]</math> ש-<math>\overline S(T_c)-\underline S(T_c)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,d]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\varepsilon</math>. נשים לב כי<math>T_{\varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math> ו-<math>T_\varepsilon=a,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b</math>. | ||
+ | |||
+ | נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. <math>\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})</math> ובאופן דומה: <math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math>. | ||
+ | |||
+ | ... | ||
+ | {{משל}} | ||
+ | |||
+ | '''דוגמה 5:''' חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^\frac1n+e^\frac2n+\dots+e^\fracnn\right)</math> |
גרסה מ־16:32, 20 בפברואר 2011
אינטגרבליות
מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על ).
(1)
נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
- אינטגרבליות לפי דרבו
- אינטגרבליות לפי רימן
היום נדבר על אינטגרבליות לפי דרבו.
אינטגרבליות לפי דרבו
תהי T חלוקה. נסמן ו-. נגדיר וכן .
חלוקה
חלוקה
דוגמה 1: הוכח ע"פ הגרדת האינטגרל שהפונקציה מתחילה בקטע . נמצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
פתרון:
דרך 1: חישוב ע"י משולש.
דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה (דרוש כי רוצים שסכום הדרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון).
במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות . ז"א .
- רוחב המלבן
- אורך המלבן
(נשים לב כי פונקציה עולה ולכן אם לוקחים נקוד קצה ימנית אז מקבלים סכום עליון)
באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון:
...
אם נראה כי נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
עבור נרשום: ...
באופן דומה
מסכנה: f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא . הערה: נשים לב שלמעשה היינו צריכים להראות שכל חלוקה שואפת
ז"א בשביל האינטגרביליות בנוסף היינו צריכים להראות שלכל חלוקה
יש טעות, היא תתוקן בהמשך.
דוגמה 2: חשב את השטח שמתחת לעקום ומעל לקטע כאשר פעם אחת נקוד קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
פתרון: תזכורת: חייבים בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).
נחלק את הקטע , נבחר חלוקה המקיימת . (לדוגמה: בחרנו חלוקה .
כאשר מתקיים ). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).
דוגמה 3: הוכח או הפרך: אם אינטגרבילית ב- אז f אינטגרבילית ב-.
פתרון: הפרכה. נבחר פונקציה מהצורה . ברור כי אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי.
הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להראות שכל חלוקה שואפת לאפס.
הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה יפה יותר.
דוגמה 4: הוכח או הפרך: אם f חסומה ב- ולכל f אינטגרבילית ב- אז f אינטגרבילית ב-.
הוכחה: רוצים להראות כי לכל יש חלוקה המקיימת ב- ש-. נתון כי f אינטגרבילית ב- ולכן יש חלוקה שם מתקיים . נשים לב כי. נסמן ו-.
נבנה סכום דרבו עליון ותחתון. ובאופן דומה: .
...
דוגמה 5: חשב עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \fracnn לא מוכרת): \lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^\frac1n+e^\frac2n+\dots+e^\fracnn\right)