הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/20.2.11"
(←אינטגרבליות) |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | =אינטגרבליות= | + | = אינטגרבליות = |
'''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>). | '''מטרה:''' לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על <math>\mathbb R</math>). | ||
שורה 13: | שורה 13: | ||
== אינטגרבליות לפי דרבו == | == אינטגרבליות לפי דרבו == | ||
− | + | נסמן <math>M_i:=\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)</math> ו-<math>m_i:=\inf_{x\in[x_{i-1},x_i)} f(x)</math>. כמו כן, לכל חלוקה T נגדיר <math>\overline S(T)=\sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i</math> ו-<math>\underline S(T)=\sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i</math>. | |
כמו כן נגדיר | כמו כן נגדיר | ||
שורה 21: | שורה 21: | ||
<math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math> | <math>\underline I=\sup\{\underline S(T):\ </math> חלוקה <math>T\}</math> | ||
}} | }} | ||
− | אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא | + | אם <math>\overline I=\underline I</math> אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה. |
===דוגמה 1=== | ===דוגמה 1=== | ||
− | הוכח ע"פ | + | הוכח ע"פ הגדרת האינטגרל שהפונקציה <math>f(x)=x</math> אינטגרבילית בקטע <math>[0,1]</math> ומצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל. |
====פתרון==== | ====פתרון==== | ||
'''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש. | '''דרך 1:''' חישוב ע"י משולש. | ||
− | '''דרך 2:''' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0. לדוגמה <math>\Delta x | + | '''דרך 2:''' נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה <math>\Delta x=\frac1n</math>. |
− | במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,1</math> | + | במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות <math>0,\tfrac1n,\tfrac2n,\dots,\tfrac{n-1}n,1</math>, ז"א <math>\overline I=\lim_{n\to\infty} \underbrace{\frac1n}_{(1)}\underbrace{\sum_{i=1}^n \frac i n}_{(2)}</math>. |
# רוחב המלבן | # רוחב המלבן | ||
# אורך המלבן | # אורך המלבן | ||
+ | (נשים לב כי <math>f(x)=x</math> פונקציה עולה ולכן, בגלל שלקחנו נקודת קצה ימנית, קיבלנו סכום עליון) | ||
− | + | באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות): | |
− | + | {{left| | |
− | + | <math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i=0}^{n-1} \frac i n</math> | |
− | באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון: | + | }} |
− | + | ||
− | <math>\underline I=\lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{i= | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח). | אם נראה כי <math>\overline I=\underline I</math> נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח). | ||
− | + | נחשב: | |
− | <math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=</math> | + | {{left| |
+ | <math>\overline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}2=\frac12</math> | ||
− | + | <math>\underline I=\lim_{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{i=0}^{n-1} i=\lim_{n\to\infty} \frac1{n^2}\cdot\frac{(n-1)n}{2}=\frac12</math> | |
+ | }} | ||
− | + | לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא <math>\tfrac12</math>. {{משל}} | |
− | + | ||
− | + | '''הערה:''' נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שכל חלוקה כך ש-<math>\Delta x\to0</math> מתקיים <math>\overline I=\underline I</math>. | |
− | + | ===דוגמה 2=== | |
'''''יש טעות, היא תתוקן בהמשך'''''. | '''''יש טעות, היא תתוקן בהמשך'''''. | ||
− | + | חשב את השטח שמתחת לעקום <math>y=9-x^2</math> ומעל לקטע <math>[0,3]</math> כאשר <math>x_k^\star</math> פעם אחת נקודת קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית. | |
− | + | ====פתרון==== | |
+ | ''תזכורת:'' חייבים <math>x_k^\star</math> בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת). | ||
נחלק את הקטע <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת <math>\Delta x\to0</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה <math>\Delta x=\frac3n</math>. | נחלק את הקטע <math>[0,3]</math>, נבחר חלוקה המקיימת <math>\Delta x\to0</math>. (לדוגמה: בחרנו חלוקה <math>\Delta x=\frac3n</math>. | ||
שורה 68: | שורה 66: | ||
<math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math> | <math>\underline S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{k=1}^n \Delta x\cdot f(\underbrace{\Delta x\cdot k}_{=x_k^\star})=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-(\Delta x\cdot k)^2)=\lim_{\Delta x\to0}\Delta x\sum_{k=1}^n (9-\Delta x^2\cdot k^2)</math> | ||
− | |||
− | |||
− | + | ===דוגמה 3=== | |
+ | הוכח או הפרך: אם {{ltr|{{!}}f{{!}}}} אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | ||
− | ''' | + | ====פתרון==== |
+ | '''הפרכה:''' נבחר את הפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}1&x\in\mathbb Q\\-1&x\not\in\mathbb Q\end{cases}=2D(x)-1</math> (כאשר <math>D(x)</math> היא פונקצית דיריכלה). ברור כי <math>|f|</math> אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית. {{משל}} | ||
− | '''הערה:''' | + | '''הערה:''' זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה <math>\Delta x\to0</math>. |
− | ''' | + | '''הערה:''' נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר. |
− | + | ===דוגמה 4=== | |
+ | הוכח או הפרך: אם f חסומה ב-<math>[a,b]</math> ולכל <math>[c,b]\subset[a,b]</math> f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | ||
− | + | ====פתרון==== | |
+ | '''הוכחה:''' רוצים להראות כי לכל <math>\varepsilon>0</math> יש חלוקה <math>T_\varepsilon</math> של <math>[a,b]</math> המקיימת ש-<math>\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon)<\varepsilon</math>. נתון כי f אינטגרבילית ב-<math>[c,b]</math> ולכן יש חלוקה <math>T_{\varepsilon'}</math> שם מתקיים <math>\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})<\frac\varepsilon2</math>. נשים לב כי <math>T_{\varepsilon'}\cup\{a\}=T_\varepsilon</math>. נסמן <math>T_{\varepsilon'}=\{c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b\}</math> ו-<math>T_\varepsilon=\{a,c,x_1,x_2,\dots,\underbrace{x_n}_b\}</math>. | ||
− | + | נבנה סכום דרבו עליון ותחתון: | |
+ | {{left| | ||
+ | <math>\overline S(T_\varepsilon)=\sup_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})</math> | ||
+ | |||
+ | <math>\underline S(T_\varepsilon)=\inf_{x\in[a,c]} f(x)\cdot (c-a)+\underline S(T_{\varepsilon'})</math> | ||
+ | }} | ||
+ | לכן: | ||
+ | {| | ||
+ | {{=|l=\overline S(T_\varepsilon)-\underline S(T_\varepsilon) | ||
+ | |r=M(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'})-m(c-a) | ||
+ | |c=מתקיים <math>M=\sup_{x\in[a,c]} f(x)</math> וכן <math>m=\inf_{x\in[a,c]}</math>, לפיכך: | ||
+ | }} | ||
+ | {{=|r=(M-m)(c-a)+\overline S(T_{\varepsilon'})-\underline S(T_{\varepsilon'}) | ||
+ | }} | ||
+ | {{=|r=\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 | ||
+ | |o=\le | ||
+ | |c=נבחר c כך ש-<math>c-a=\frac\varepsilon{2(M-m)}</math>: | ||
+ | }} | ||
+ | {{=|r=\varepsilon | ||
+ | }} | ||
+ | |} | ||
{{משל}} | {{משל}} | ||
− | + | ===דוגמה 5=== | |
+ | חשב <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{\frac1n}+e^{\frac2n}+\dots+e^{\frac{n-1}n}+e\right)</math> | ||
− | + | ====פתרון==== | |
− | <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math> | + | נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה <math>e^x</math> בקטע <math>[0,1]</math>. <math>e^x</math> פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}</math>, וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן <math>\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n e^{\frac{i}{n}}=\int\limits_0^1 e^xdx</math>. |
− | לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>). | + | לפי המשפט היסודי זה שווה ל-<math>[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1</math> (הפונקציה הקדומה של <math>e^x</math> היא <math>e^x</math>). {{משל}} |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | '''משפט:''' תנאי הכרחי כדי שפונקציה <math>f(x)</math> תהיה אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> הוא ש-f חסומה בקטע. | |
− | + | ||
− | + | '''משפט:''' אם f חסומה בקטע <math>[a,b]</math> ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math>. | |
− | + | ||
+ | ===דוגמה 6=== | ||
+ | קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית: | ||
+ | <ol> | ||
+ | <li> | ||
+ | <math>f(x)=\begin{cases}\tan(x)&0\le x<\tfrac\pi2\\1&x=\tfrac\pi2\end{cases}</math> בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi2\right]</math>. | ||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | '''לא אינטגרבילית:''' מתקיים <math>\lim_{k\to\frac\pi2^-}f(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\tan(x)=\lim_{k\to\frac\pi2^-}\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\infty</math>. לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית. {{משל}} | ||
+ | </li> | ||
+ | <li> | ||
+ | <math>f(x)=\begin{cases}\sin\left(\frac1x\right)&x\ne0\\0&x=0\end{cases}</math> בקטע <math>[-1,1]</math>. | ||
+ | ====פתרון==== | ||
+ | '''כן אינטגרבילית:''' נשים לב כי <math>-1\le\sin\left(\frac1x\right)\le1</math>. בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב-<math>x=0</math> ולכן f אינטגרבילית. {{משל}} | ||
+ | </li> | ||
+ | </ol> |
גרסה מ־18:57, 21 בפברואר 2011
תוכן עניינים
אינטגרבליות
מטרה: לחשב שטח (דו-מימדי במקרה שלנו, כי אינפי מדבר על ).
גרף (1)
נציג שתי שיטות עיקריות לחישוב שטחים:
- אינטגרבליות לפי דרבו
- אינטגרבליות לפי רימן
היום נדבר על הראשונה.
אינטגרבליות לפי דרבו
נסמן ו-. כמו כן, לכל חלוקה T נגדיר ו-.
כמו כן נגדיר
חלוקה
חלוקה
אם אז f אינטגרבילית לפי דרבו וערך האינטגרל הוא ערך זה.
דוגמה 1
הוכח ע"פ הגדרת האינטגרל שהפונקציה אינטגרבילית בקטע ומצא ע"פ ההגדרה את ערך האינטגרל.
פתרון
דרך 1: חישוב ע"י משולש.
דרך 2: נבחר חלוקה מספיק קטנה השואפת ל-0 (דרוש כי רוצים שסכום דרבו העליון יהא שווה לסכום דרבו התחתון). לדוגמה .
במקרה זה נחלק את הקטע לפי הנקודות , ז"א .
- רוחב המלבן
- אורך המלבן
(נשים לב כי פונקציה עולה ולכן, בגלל שלקחנו נקודת קצה ימנית, קיבלנו סכום עליון)
באופן דומה נמצא סכום דרבו תחתון (עם נקודות קצה שמאליות):
אם נראה כי נקבל כי f אינטגרבילית לפי דרבו (ואפילו נקבל את השטח).
נחשב:
לכן f אינטגרבילית לפי דרבו והשטח מתחת לגרף הוא .
הערה: נשים לב שכדי להוכיח אינטגרביליות היינו יכולים להראות שכל חלוקה כך ש- מתקיים .
דוגמה 2
יש טעות, היא תתוקן בהמשך.
חשב את השטח שמתחת לעקום ומעל לקטע כאשר פעם אחת נקודת קצה ימנית ופעם אחת נקודת קצה שמאלית. קבע בפרוט אם f אינטגרבילית.
פתרון
תזכורת: חייבים בכל תת קטע כי מחפשים פעם ראשונה סופרימום ופעם שנייה אינפימום (אנחנו לא יודעים מפורשות איפה היא נמצאת).
נחלק את הקטע , נבחר חלוקה המקיימת . (לדוגמה: בחרנו חלוקה .
כאשר מתקיים ). נשים לב שבקטע f יורדת (נקודה ימנית תתן אינפימום ונקודה שמאלית תתן סופרימום).
דוגמה 3
הוכח או הפרך: אם |f| אינטגרבילית ב- אז f אינטגרבילית ב-.
פתרון
הפרכה: נבחר את הפונקציה (כאשר היא פונקצית דיריכלה). ברור כי אינטגרבילית (כי היא קבועה). לעומת זאת, אם נבחר חלוקה של מספרים אי רציונלים נחלק סכום שלילי, ואם נבחר חלוקה של מספרים רציונלים נקבל סכום חיובי. לכן f אינה אינטגרבילית.
הערה: זוהי דוגמה טובה שמראה שיש להוכיח שלכל חלוקה .
הערה: נראה בהמשך כי אינטגרביליות לפי רימן שקולה לאינטגרביליות לפי דרבו (שם אפשרי לבחור כל נקודה בתת קטע). הפתרון במקרה זה היה יכול להיות יפה יותר.
דוגמה 4
הוכח או הפרך: אם f חסומה ב- ולכל f אינטגרבילית ב- אז f אינטגרבילית ב-.
פתרון
הוכחה: רוצים להראות כי לכל יש חלוקה של המקיימת ש-. נתון כי f אינטגרבילית ב- ולכן יש חלוקה שם מתקיים . נשים לב כי . נסמן ו-.
נבנה סכום דרבו עליון ותחתון:
לכן:
מתקיים וכן , לפיכך: | ||||||
נבחר c כך ש-: | ||||||
דוגמה 5
חשב
פתרון
נשים לב שמוגדר למעשה סכום של מלבנים. נסתכל על הפונקציה בקטע . פונקציה אינטגרבילית. הגבול הנתון הוא , וזוהי בדיוק ההגדרה של אינטגרל מסויים. לכן .
לפי המשפט היסודי זה שווה ל- (הפונקציה הקדומה של היא ).
משפט: תנאי הכרחי כדי שפונקציה תהיה אינטגרבילית ב- הוא ש-f חסומה בקטע.
משפט: אם f חסומה בקטע ורציפה פרט אולי למספר סופי של נקודות אי רציפות אז f אינטגרבילית ב-.
דוגמה 6
קבע מי מהפונקציות הבאות אינטגרבילית:
-
בקטע .
פתרון
לא אינטגרבילית: מתקיים . לפיכך f לא חסומה ולכן לא אינטגרבילית.
-
בקטע .
פתרון
כן אינטגרבילית: נשים לב כי . בנוסף יש לנו נקודת אי-רציפות יחידה ב- ולכן f אינטגרבילית.