הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/1.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(יצירת דף עם התוכן "{{הערה|את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת, ולכן עשינו אותו ב-1.3.11. מסיבה זאת [[משתמש:או...") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
− | {{הערה|את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת | + | {{הערה|את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.3.11. [[משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11#משפט 11 (תכונות האינטגרל)|חלק זה]] מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.}} |
=האינטגרל לפי רימן {{הערה|(המשך)}}= | =האינטגרל לפי רימן {{הערה|(המשך)}}= | ||
שורה 46: | שורה 46: | ||
בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}} | בקטע <math>\left[0,\tfrac\pi4\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\ge\sin(x)</math> ובקטע <math>\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]</math> מתקיים <math>\cos(x)\le\sin(x)</math>. לכן השטח הוא {{left|<math>\begin{align}\int\limits_0^\frac\pi2 |\cos(x)-\sin(x)|\mathrm dx&=\int\limits_0^\frac\pi4 \Big(\cos(x)-\sin(x)\Big)\mathrm dx+\int\limits_\frac\pi4^\frac\pi2 \Big(\sin(x)-\cos(x)\Big)\mathrm dx\\&=\left([\sin(x)+\cos(x)]_{x=0}^\frac\pi4\right)+\left([-\sin(x)-\cos(x)]_{x=\frac\pi4}^\frac\pi2\right)\\&=\left(\frac\sqrt22+\frac\sqrt22-(0+1)\right)+\left(-1-0+\frac\sqrt22+\frac\sqrt22\right)\\&=2\sqrt2-2\end{align}</math>}} | ||
+ | |||
+ | {{משל}} |
גרסה מ־14:22, 2 במרץ 2011
את ההוכחה למשפט 11 לא סיימנו בהרצאה הקודמת ולכן השלמנו אותו ב-1.3.11. חלק זה מופיע בסיכום ההרצאה הקודמת ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
האינטגרל לפי רימן (המשך)
משפט 12 (המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי)
תהי f מוגדרת ואינטגרבילית בקטע .
- לכל נגדיר . אזי A מוגדרת היטב ורציפה ב- ולכל שבה f רציפה A גזירה כך ש-.
- נוסחת ניוטון-לייבניץ: נניח ש-f רציפה בכל הקטע . אם F קדומה ל-f אז .
הוכחה
- כיוון ש-f אינטגרבילית ב- משפט 9 נותן שלכל f אינטגרבילית בקטע ולכן מוגדרת היטב. נוכיח ש-A רציפה ע"י זה שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. ובכן f אינטגרבילית ובפרט היא חסומה: לכל . כעת אם אז ונובע ש-A רציפה. כעת נניח ש-f רציפה בנקודה . ר"ל A גזירה שם. ובכן ולכן . נעיר ש- (כי פונקציה קבועה). לכן . מכאן ש-. נותר להוכיח שכאשר אגף ימין (ולכן אגף שמאל) שואף ל-0. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש-f רציפה ב- קיים כך שאם אז . כעת נניח ש-. אם כן האינטגרל באגף ימין הוא על קטע בין ל- ולכן כל t בקטע זה מקיים . נובע שלכל t בקטע . יוצא שאם אז . הדבר אפשרי לכל , לכן ז"א קיים ושווה ל-.
- נתון ש-f רציפה בכל . לפי החלק הקודם , כלומר A קדומה ל-f ב-. קיים קבוע c כך ש- לכל . מכאן ש-.
מסקנה
אם f רציפה בקטע אז קיימת לה פונקצייה קדומה ב-.
הוכחה
כיוון ש-f רציפה בקטע כולו מתקיים קדומה ל-f ב-.
דוגמאות
- . זו פונקציה אלמנטרית ומוגדרת בכל , ולכן רציפה שם. לפי המסקנה יש לה פונקציה קדומה. זו דוגמה קלאסית לפונקציה אלמנטרית שהפונקציה הקדומה שלה לא אלמנטרית.
- כאשר
תרגילים לחידוד
- נגדיר . נמצא את : לפי חלק א של משפט 12 מתקיים .
- נגדיר . נמצא את : נגדיר ולכן . לפי זה ולפיכך, ע"פ כלל השרשרת, .
גרף (1)
הגדרה: עבור רציפה ב- נגדיר את השטח שמתחת לגרף של f ע"י . לפי זה, אם ב- אז = מספר שלילי או 0 שהוא "מינוס השטח שמעל הגרף" (גרף (2)). אם f מחליפה סימן (גרף (3)) אז = השטח מעל ציר ה-x פחות השטח מתחת לצייר ה-x ולכן = השטח בין הגרף לציר ה-x.
דוגמת חישוב
גרף (4)
כאן ברור שהשטח בין הגרפים הוא , ובנימוק פשוט זה נכון בכל מקרה ש- ב-.
למשל, נחשב את השטח שבין הגרפים ו- בקטע
גרף (5)
בקטע מתקיים ובקטע מתקיים . לכן השטח הוא