הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - תרגול/27.2.11"
(←פתרון) |
|||
שורה 23: | שורה 23: | ||
אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל-f הוא <math>2\cdot\tfrac13+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac13=1</math>, כלומר אנו ננסה להוכיח ש-<math>I=1</math>: | אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל-f הוא <math>2\cdot\tfrac13+0\cdot\tfrac13+1\cdot\tfrac13=1</math>, כלומר אנו ננסה להוכיח ש-<math>I=1</math>: | ||
− | נסמן ב-T את החלוקה <math>\left\{0,\tfrac13,\tfrac23,1\right\}</math> של <math>[0,1]</math>. נבחר <math>T_\delta</math> העדנה של T המקיימת <math>\lambda(T_\delta)<\delta</math> ונבנה את סכום רימן באופן הבא: | + | נסמן ב-T את החלוקה <math>\left\{0,\tfrac13,\tfrac23,1\right\}</math> של <math>[0,1]</math>. נבחר <math>T_\delta=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}</math> העדנה של T המקיימת <math>\lambda(T_\delta)<\delta</math> ונבנה את סכום רימן באופן הבא: |
− | תהי <math>x_i:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac13\right\}</math> ותהי <math>x_j:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac23\right\}</math>. | + | תהי <math>x_i:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac13\right\}</math> ותהי <math>x_j:=\max\left\{x\in T_\delta:\ x<\tfrac23\right\}</math>. עבור <math>x_0\le c_1\le x_1\le\dots\le c_n\le x_n</math>, סכומי רימן הם |
− | {{left|<math>\begin{array}{l l l}\sigma&=&2(x_1-\underbrace{x_0}_{=0})+\dots+2(x_i-x_{i-1}) | + | {{left|<math>\begin{array}{l l l}\sigma&=&\displaystyle\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k |
+ | \\&=&\ 2(x_1-\underbrace{x_0}_{=0})+\dots+2(x_i-x_{i-1}) | ||
\\&&+0(\underbrace{x_{i+1}}_{=1/3}-x_i)+\dots+0(x_j-x_{j-1}) | \\&&+0(\underbrace{x_{i+1}}_{=1/3}-x_i)+\dots+0(x_j-x_{j-1}) | ||
\\&&+1(\underbrace{x_{j+1}}_{=2/3}-x_j)+\dots+1(\underbrace{x_n}_{=1}-x_{n-1})\\&=&2x_i+1-x_j\end{array}</math>}} | \\&&+1(\underbrace{x_{j+1}}_{=2/3}-x_j)+\dots+1(\underbrace{x_n}_{=1}-x_{n-1})\\&=&2x_i+1-x_j\end{array}</math>}} |
גרסה מ־12:15, 4 במרץ 2011
תוכן עניינים
אינטגרל לפי רימן
הגדרה: יהי קטע סגור. נסמן את כחלוקה ונקרא ל-T חלוקה. נסמן כאשר .
הגדרה: תהי f פונקציה המוגדרת ב- ותהי T חלוקה של הקטע. עבור כל תת קטע נבחר נקודה ונבנה סכום מהצורה . סכום זה נקרא סכום רימן של f והוא תלוי ב- וב-.
הגדרה: פרמטר החלוקה של T מוגדר כ-.
הגדרה: תהי סדרת חלוקות של הקטע . נאמר כי נורמלית אם .
הגדרה: נאמר כי סכומי רימן שואפים לגבול I כאשר אם לכל קיימת כך שלכל חלוקה T עבורה מתקיים .
דוגמה 1
נמצא פונקציה לא אינטגרבילית. דוגמה קלאסית לכך היא פונקצית דיריכלה - לכל חלוקה נורמלית שנבחר תהיה נקודה רציונלית ונקודה אי-רציונלית בתת קטע של ולכן סכום רימן יכול להיות כל ערך בין 0 ל- (כולל).
דוגמה 2
קבע אינטגרביליות של f בקטע כאשר .
פתרון
נוכיח אינטגרביליות לפי רימן. תהי נתונה. צריך להוכיח כי קיימת כך שלכל חלוקה T, עבורה מתקיים . נצייר את הפונקציה:
גרף (1)
אינטואיטיבית, מהגרף ניתן לראות שהשטח מתחת ל-f הוא , כלומר אנו ננסה להוכיח ש-:
נסמן ב-T את החלוקה של . נבחר העדנה של T המקיימת ונבנה את סכום רימן באופן הבא: תהי ותהי . עבור , סכומי רימן הם
נשים לב כי ולכן ו-. כמו כן, לפי הגדרת , מתקיים ו-. מכאן ש-. נזכיר כי חשדנו ש- ולכן נבדוק מהו : ולכן . נבחר ונקבל את הדרוש. לסיכום, ערך האינטגרל הוא 1 ובוודאי ש-f אינטגרבילית.
דוגמה 3
חשב את הגבול .
פתרון
נתבונן בסדרה . כאשר , קל לראות שמדובר בקטע . לפי חוקי לוגריתמים אפשר לרשום: . ברור כי ln אינטגרבילית ב- ולכן נבחר חלוקה שעבורה , ואז .
הערה: את האינטגרל הזה נלמד לפתור בשיעור הבא.
משפט: אם ו-f ו-g אינטגרביליות אז .
דוגמה 4
קבע האם האינטגרל הנתון בעל ערך חיובי או שלילי: .
פתרון
נסמן קל לראות ש-f חיובית בקטע ולכן , כלומר אי-שלילי. נעיר ש- (שהיא הנקודה המאפסת היחיד של f ב-) אינה בקטע ולכן התוצאה חיובית.
דוגמה 5
נוכיח כי .
פתרון
נתון כי ולכן . מכאן ש- חיובית. נפעיל אינטגרל (צריכים רק את צד שמאל) ונקבל . התוצאה קטנה מ-7.5 ולכן נחפש חסם אחר: , לכן .
דוגמה 6
הוכח כי
פתרון
ננסה למצוא קבועים המקיימים (כי אינטגרל של קבוע אנו יודעים לפתור). נמצא מינימום ומקסימום. נסמן ואז ולכן נקודה החשודה כקיצון היא : ולפיכך היא מינימום. לפי וירשטרס נחפש גם בקצוות: (מקסימום) וכן . לכן . לפיכך ונקבל בדיוק את מה שרשום.