הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.2.11"
(←הקדמה - הגישה של רימן) |
מ (←משפט 11 {{הערה|(תכונות האינטגרל)}}) |
||
שורה 79: | שורה 79: | ||
# {{הערה|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math> | # {{הערה|(מונוטוניות):}} אם <math>f(x)\ge g(x)</math> לכל <math>x\in[a,b]</math> אז <math> | ||
\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | \int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{הערה|(חיוביות):}} בפרט, אם <math>\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge0</math> אז <math>\int\limits_a^b f\ge0</math>. | ||
− | # {{הערה|( | + | # {{הערה|(הכללה לאי-שיוויון המשולש):}} אם f אינטגרבילית ב-<math>[a,b]</math> אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. |
# אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>|f(x)|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. | # אם <math>m\le f(x)\le M</math> ב-<math>[a,b]</math> אז <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ואם <math>|f(x)|\le M</math> בקטע זה אז אז <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)</math>. | ||
# אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>. | # אם <math>f(x)=M</math> (פונקציה קבועה) אז <math>\int\limits_a^b f= M(b-a)</math>. | ||
שורה 89: | שורה 89: | ||
<ol start="2"> | <ol start="2"> | ||
<li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | <li>נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: <math>\sum_{k=1}^n g(c_k)\Delta x_k</math>. לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- <math>\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math>. סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק <math>\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g</math>. {{משל}}</li> | ||
− | <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup\left\{\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|:\ x,y\in[a,b]\right\}\le\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math>. <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)</math> | + | <li>נעיר ש-<math>\Omega</math> היא בעצם <math>\Omega(f)=\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}</math>. כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-<math>\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|\le|f(x)-f(y)|</math>. לכן <math>\Omega(|f|)=\sup\left\{\Big||f(x)|-|f(y)|\Big|:\ x,y\in[a,b]\right\}\le\sup\{|f(x)-f(y)|:\ x,y\in[a,b]\}=\Omega(f)</math>. כעת תהי P חלוקה כלשהי של <math>[a,b]</math>. <math>\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=\sum_{k=1}^n (M_k(f)-m_k(f))\Delta x_k</math>. נעיר שלכל f, <math>M_k(f)-m_k(f)</math> היא התנודה של f בקטע <math>[x_{k-1},x_k]</math> ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: {{left|<math>\begin{align}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)&=\sum_{k=1}^n \Big(M_k(f)-m_k(f)\Big)\Delta x_k\\&\ge\sum_{k=1}^n \Big(M_k(|f|)-m_k(|f|)\Big)\Delta x_k\\&=\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\end{align}</math>}} |
+ | כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי <math>\varepsilon>0</math> נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של <math>[a,b]</math> כך ש-<math>\overline S(|f|,P)-\underline S(|f|,P)\le\overline S(f,P)-\underline S(f,P)\to0</math> ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|</math>. לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים <math>\left|\sum_{k=1}^n f(c_k)\Delta x_k\right|\le\sum_{k=1}^n |f(c_k)|\Delta x_k</math>. נשאיף <math>\lambda(P)\to0</math> ונקבל ש-<math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b|f|</math>. {{משל}}</li> | ||
<li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li> | <li>נתון <math>m\le f(x)\le M</math>. לפי משפט 1, לכל חלוקה P של <math>[a,b]</math> מתקיים <math>m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)</math>. נשאיף את <math>\lambda(P)\to0</math> כדי להסיק <math>m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math>. אם נתון <math>|f(x)|\le M</math> אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר <math>\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|\le M(b-a)</math>. {{משל}}</li> | ||
<li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li> | <li>לפי הנתון <math>M\le f(x)\le M</math>. לכן, עפ"י סעיף 4 <math>M(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)</math> ויש שיוויון. {{משל}}</li> | ||
</ol> | </ol> |
גרסה מ־12:36, 5 במרץ 2011
תוכן עניינים
האינטגרל לפי דרבו (המשך)
משפט 8
נניח ש-f מוגדרת וחסומה בקטע ונניח ש-. אזי f אינטגרבילית ב- וב- אם"ם היא אינטגרבילית ב-, ואם כן מתקיים .
הוכחה
: נתונה f אינטגרבילית ב- וב-. נקח חלוקה כלשהי P של וחלוקה Q של ונגדיר (כלומר R חלוקה של ). לכן מתקיים . נשאיף . לפי הנתון וגם , לכן . באותו אופן נקבל . הראנו ש- ולכן f אינטגרבילית ב-. ע"פ משפט 4 נסיק .
: נבחר חלוקות P,Q,R כמו בחלק הקודם, ושוב ו-. נחסיר ונקבל: . כעת, אם , האינטגרביליות של f על גוררת שעבור ו- מספיק קטנים . קיום חלוקה P כזאת לכל מוכיח ש-f אינטגרבילית ב- וקיום חלוקה Q - ב-. השיוויון נובע מהחלק הקודם.
הכללה
אם ואם f אינטגרבילית ב- אז . ההוכחה באינדוקציה.
מוסכמות:
- אם ואם f אינטגרבילית ב- נרשום
(אלה מוסכמות ולא אקסיומות כי באופן שבו הגדרנו את האינטגרל עד עכשיו, לא מוגדר עבור )
עם מוסכמות אלה יתקיים:
באופן בלתי תלוי בסדר של המספרים a,b,c. למשל, אם אז לפי משפט 8 . נבדוק: ולכן , מה שנכון כי .
משפט 9
תהי מוגדרת וחסומה ב-. עוד נניח ש-f רציפה ב-. אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
יהי נתון. נגדיר .
גרף (1)
לפי הנתון f רציפה ב-. לפי משפט 6 היא אינטגרבילית ב-, לכן נוכל לבחור חלוקה P של כך ש-. כעת גדיר חלוקה Q של ע"י . עוד נגדיר וכן . נובע ש-. נובע ממשפט 4 ש-f אינטגרבילית ב-.
מסקנה 1
המשפט נכון אם f חסומה ורציפה ב-.
מסקנה 2
נניח ש-f חסומה ב- ורציפה שם פרט למספר סופי של נקודות כך ש- אזי f אינטגרבילית ב-.
הוכחה
עבור כל k נקבל ש-f חסומה ב- ורציפה ב-. לפי מסקנה 1, f אינטגרבילית ב-. נסתמך על מסקנה למשפט 8 לומר ש-f אינטגרבילית ב-.
הגדרה: אומרים ש-f "רציפה למקוטעין" ב- אם היא רציפה שם פרט למספר סופי של נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
גרף (2)
נובע ממסקנה 2 שכל פונקציה רציפה למקוטעין ב- אינטגרבילית שם. באופן דומה אפשר להוכיח שאם f מוגדרת ו"מונוטונית למקוטעין" ב- אז היא אינטגרבילית שם.
האינטגרל לפי רימן
הקדמה - הגישה של רימן
נניח ש-f מוגדרת וחסומה ב-. נבחר חלוקה P של : . עוד נבחר מספרים ונכנה כ-P' את התת חלוקה . ז"א . בהתאם לכך נבנה סכום רימן כאשר לכל k מתקיים .
גרף (3)
מקרב את השטח שמתחת לגרף, ולא ידוע אם הוא גדול, קטן או שווה לשטח שמתחת לגרף.
נעיר שעל חלוקה אחת P של אפשר לבנות אינסוף סכומי רימן . עם זאת, יתקיים תמיד . יתר על כן, ו-.
הגדרת רימן: תהי f מוגדרת וחסומה ב-. נאמר ש-f אינטגרבילית ב- אם כאשר כל סכומי רימן שואפים לגבול אחד, שיסומן .
משפט 10
תהי f מוגדרת וחסומה ב-. אזי f אינטגרבילית שם לפי רימן אם"ם f אינטגרבילית שם לפי דרבו, ואם כן אז (לפי רימן) (לפי דרבו).
הוכחה
תחילה נניח ש-f אינטגרבילית לפי דרבו. נעיר שלכל חלוקה P ותת חלוקה P' של : . כעת נשאיף . כיוון ש-f אינטגרבילית דרבו, וכן לכן משפט הסנדויץ' מבטיח ש- קיים ושווה ל-. ז"א f אינטגרבילית רימן ומתקיים .
לצד השני, נניח ש-f אינטגרבילית רימן. אזי מתקיים . אם כן הוא גם שווה ל-,ובאופן דומה עבור אינטגרל תחתון (לפי דרבו, כמובן). מצאנו . עצם זה שהאינטגרל העליון והתחתון שווים אומר ש-f אינטגרבילית דרבו וגם מצאנו: .
משפט 11 (תכונות האינטגרל)
נניח ש-f ו-g מוגדרות ואינטגרביליות ב-[a,b], ונניח ש-c קבוע כלשהו. אזי:
- (לינאריות): אינטגרבילית ב-[a,b] ומתקיים .
- (מונוטוניות): אם לכל אז . (חיוביות): בפרט, אם אז .
- (הכללה לאי-שיוויון המשולש): אם f אינטגרבילית ב- אז .
- אם ב- אז ואם בקטע זה אז אז .
- אם (פונקציה קבועה) אז .
הוכחה
- . נשאיף . כיוון שנתון ש-f ו-g אינטגרביליות אגף ימין שואף לגבול, ז"א . עצם קיום הגבול אומר ש- אינטגרבילית ולפי ערך הגבול נסיק .
את ההמשך עשינו בהרצאה שאחריה:
- נתבונן בסכום רימן כלשהו עבור g: . לפי הנתון הוא קטן או שווה ל- . נשאיף . סכומים אלה שואפים לאינטגרלים של f ו-g ונסיק .
- נעיר ש- היא בעצם . כזכור, אי שיוויון המשולש גורר ש-. לכן . כעת תהי P חלוקה כלשהי של . . נעיר שלכל f, היא התנודה של f בקטע ולפי מה שהוכחנו זה גדול או שווה לתנודה של |f| באותו קטע: כעת נוכיח ש-|f| אינטגרבילית. לצורך זה יהי נתון. כיוון ש-f אינטגרבילית (נתון) קיימת חלוקה P של כך ש- ונובע ממשפט 5 ש-|f| אינטגרבילית. נותר להוכיח את אי-השיוויון . לפי אי-שיוויון המשולש, לכל סכום רימן של f מתקיים . נשאיף ונקבל ש-.
- נתון . לפי משפט 1, לכל חלוקה P של מתקיים . נשאיף את כדי להסיק . אם נתון אז נוכל להסתמך על סעיף 3 ומה שהוכחנו הרגע לומר .
- לפי הנתון . לכן, עפ"י סעיף 4 ויש שיוויון.