הבדלים בין גרסאות בדף "משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/6.3.11"
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
(←דוגמאות חישוב) |
|||
שורה 71: | שורה 71: | ||
# <math>\int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>I=\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c</math>. | # <math>\int\frac{f'(x)}{f^2(x)}\mathrm dx</math>: נציב <math>y=f(x)</math> ונקבל <math>I=\int\frac{\mathrm dy}{y^2}=-\frac1y+c=-\frac1{f(x)}+c</math>. | ||
# <math>\int\frac{x^5\mathrm dx}\sqrt{1-x^3}</math>: נציב <math>y=1-x^3</math> ואז <math>\frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx</math>. מכאן ש-<math>I=\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}\sqrt y=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac1{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\sqrt{1-x^3}^3-\frac23\sqrt{1-x^3}+c</math>. | # <math>\int\frac{x^5\mathrm dx}\sqrt{1-x^3}</math>: נציב <math>y=1-x^3</math> ואז <math>\frac{(1-y)\mathrm dy}{-3}=x^5\mathrm dx</math>. מכאן ש-<math>I=\int\frac{\frac{1-y}{-3}\mathrm dy}\sqrt y=\int\left(\frac13\sqrt y-\frac1{\sqrt y}\right)\mathrm dy=\frac29\sqrt{1-x^3}^3-\frac23\sqrt{1-x^3}+c</math>. | ||
− | # <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\arcsin(x)</math> ומכאן ש-<math>\mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy</math>. לבסוף, {{left|<math>\begin{align}I&=\int y\cos(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)-\int1\sin(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)+\cos(y)\\&=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c\end{align}</math>}} גרף (1) ואז <math>I=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c</math>.<br />דרך אחרת: <math>I=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math>. נגדיר <math>y=1-x^2</math> ושוב נקבל {{left|<math>\begin{align}I&=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\\&=x\arcsin(x)+\int\frac{\mathrm dy}{2\sqrt y}\\&=x\arcsin(x)-\sqrt y+c\\&=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c\end{align}</math>}} | + | # <math>\int\arcsin(x)\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\arcsin(x)</math> ומכאן ש-<math>\mathrm dx=\cos(y)\mathrm dy</math>. לבסוף, {{left|<math>\begin{align}I&=\int y\cos(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)-\int1\sin(y)\mathrm dy\\&=y\sin(y)+\cos(y)\\&=x\arcsin(x)+\cos(\arcsin(x))+c\end{align}</math>}} גרף (1) ואז <math>I=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c</math>.<br />דרך אחרת: <math>I=\int1\arcsin(x)\mathrm dx=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx</math>. נגדיר <math>y=1-x^2</math> ושוב נקבל {{left|<math>\begin{align}I&=x\arcsin(x)-\int\frac x\sqrt{1-x^2}\mathrm dx\\&=x\arcsin(x)+\int\frac{\mathrm dy}{2\sqrt y}\\&=x\arcsin(x)-\sqrt y+c\\&=x\arcsin(x)+\frac1\sqrt{1-x^2}+c\end{align}</math>}} |
− | # <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\sqrt x\implies\mathrm dy= | + | # <math>\int e^\sqrt x\mathrm dx</math>: נציב <math>y=\sqrt x\implies\mathrm dy=\frac{\mathrm dx}{2\sqrt x}</math> ולכן <math>I=\int 2ye^y\mathrm dy=2ye^y-\int2e^y\mathrm dy=2\sqrt xe^\sqrt x-2e^\sqrt x+c</math>. |
# <math>\int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx</math>: נבחר <math>y=\sin(x)</math> כדי לקבל <math>I=\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרת: <math>y=\cos(x)</math> ואז <math>I=\int-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרונה: <math>I=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c</math>.<br />קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: <math>\frac12\sin^2(x)-\left(-\frac12\cos^2(x)\right)=\frac12\left(\cos^2(x)+\sin^2(x)\right)=\frac12</math>. | # <math>\int\sin(x)\cos(x)\mathrm dx</math>: נבחר <math>y=\sin(x)</math> כדי לקבל <math>I=\int y\mathrm dy=\frac12y^2+c=\frac12\sin^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרת: <math>y=\cos(x)</math> ואז <math>I=\int-y\mathrm dy=-\frac12\cos^2(x)+c</math>.<br />שיטה אחרונה: <math>I=\int\frac12\sin(2x)\mathrm dx=-\frac14\cos(2x)+c</math>.<br />קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: <math>\frac12\sin^2(x)-\left(-\frac12\cos^2(x)\right)=\frac12\left(\cos^2(x)+\sin^2(x)\right)=\frac12</math>. |
גרסה מ־21:13, 7 במרץ 2011
תוכן עניינים
האינטגרל הלא מסויים
הגדרה: אינטגרל מסויים הוא אינטגרל עם גבולות שלמדנו עד עכשיו - גבול של סכומי רימן וסכומי דרבו. אם f רציפה ניתן, לפעמים, לחשב את האינטגרל לפי נוסחת ניוטון-לייבניץ. השלב העיקרי בחישוב זה הוא מציאת הפונקציה הקדומה, ולכן הגדירו אינטגרל לא מסויים - ללא גבולות - , שפתרונו פשוט עבור F פונקציה קדומה ל-f.
אינטגרלים פשוטים
בדיקות
- נבדוק (עבור ): לפי ההגדרה . לכן עבור מתקיים ועבור , .
דוגמאות חישוב
- (מהפיכת כלל השרשרת)
- (למעשה, האינטגרל הזה לא אלמנטרי)
- - למרות שהפונקציה אלמנטרית אנו לא יודעים מה האינטגרל. המסר הוא שהאינטגרציה קשה.
כלל פשוט: האינטגרל לינארי, כלומר .
אינטגרציה בחלקים
כזכור, אם f ו-g פונקציות גזירות אז . אם f' ו-g' רציפות נוכל להפוך את זה לנוסחת אינטגרציה:
.
דוגמאות חישוב
- . אם ננסה לפתור אינטגרל זה בדרך הפוכה נקבל , ואינטגרל זה יותר קשה מהאינטגרל המקורי.
- . נעשה שוב אינטגרציה בחלקים: ובסה"כ .
- .
- .
- ולכן .
שיטת ההצבה/שינוי משתנים
נתחיל עם כלל השרשרת: . לכן אם F קדומה ל-f אז ולפיכך .
דרך פורמלית וכללית לפתרון: נתון . ע"י הגדרה נקבל . נעביר אגף: , נחזור לאינטגרל ונקבל .
דוגמאות חישוב
בכל אחת מהדוגמאות הבאות נסמן את האינטגרל שיש לחשב כ-:
- : נציב ולכן ולפיכך .
- : נציב ואז ונובע ש-.
- : נציב ולכן .
- : עבור נקבל .
- .
- : נציב ונקבל .
לכן ניתן להוכיח שוב את סעיף 4: . - : נציב ונקבל .
- : נציב ואז . מכאן ש-.
- : נציב ומכאן ש-. לבסוף, גרף (1) ואז .
דרך אחרת: . נגדיר ושוב נקבל - : נציב ולכן .
- : נבחר כדי לקבל .
שיטה אחרת: ואז .
שיטה אחרונה: .
קיבלנו 3 תשובות שונות באותו תרגיל, אך אין סתירה כי ההפרש בין כל שתי תשובות הוא גודל קבוע. למשל: .