משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11
דוגמאות
- .
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב . לכן .
- דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב: ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (ההמרה ל־PNG נכשלה; אנא בדקו אם התקנתם נכון את latex ואת dvipng (או צירוף של dvips, gs ו־convert)): \int=\limits_0^8\frac{e^t}3\mathrm dt=\left[\frac{e^t}3\right]_{t=0}^8=\frac{e^8-1}3
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. . לכן השטח הוא . נציב ... הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה היינו צריכים לבחור כך ש-, אבל יכולנו לבחור כי אז , ועבור יכולנו לבחור . אם כן היינו מוצאים . הטעות נובעת מכך שקבענו ש-, מה שנכון רק כאשר . הטווח של האינטגרציה היה , שכולל תחומים בהם . בתחומים אלה צריך לבחור ולחלק את הקטע לתחומים שונים לפי הסימן של .
יישומים של אינטגרציה
- אם בקטע מתקיים כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא .
- נפח של גוף סיבוב גרף (1). נסובב את השטח מתחת לגרף בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו - . כעת נניח ש- רציפה ב- ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. ובכן: נקח חלוקה כלשהי P של , . תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל מסתובב סביב ציר ה-x עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום ומינימום בקטע זה. נסמן ב- הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף. אז מתקיים . יוצא שהנפח בסה"כ הוא ומתקיים . נעיר שהסכום בצד ימין הוא בדיוק ובצד שמאל . ז"א לכל חלוקה P . נשאיף וכיוון ש-f רציפה גם רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול .
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r: .
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. גרף (3) זהו גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. גרף (4) . לפי זה הנפח הוא עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \pi\int\limits_0^h\left(\frac rhx\right)^2\mathrm dx=\pi(\frac rh)^2\int\limits_0^h x^2\mathrm dx=\pi\left(\frac rh\right)^2\frac{x^3}3\right]_{x=0}^h=\frac{\pi r^2h}3
, כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
- תהא f מוגדרת ורציפה ב- ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל נגדיר חלוקה של הקטע לקטעים שווים . כאשר לכל k עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): x_k-x_{k-1}=\frac{b-a}
. נרשום את הממוצע של f בנקודות החלוקה. הוא . לפי בחירת , לכל k מתקיים ונובע: (כאשר הוא סכום רימן). נשאיף ומכיוון שבמקרה כזה מצאנו שהממוצע של f שואף ל-. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת: אם רציפה אז הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע.
- אורך הגרף: עבור פונקציה f רציפה ב- נעשה חלוקה של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות , כאשר לכל k . קירוב סביר לאורת הגרף נתון ע"י , כאשר הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): \sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2
. לכן L אורך הגרף מקיים שלכל ואפשר להגדיר את L ע"י . לפי זה L תמיד מוגדר . דוגמה: נגדיר . היא רציפה בקטע הסגור אבל אורך הגרף הוא . גרף (5). כאשר ראינו ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת תחביר): L(P)=\sum_{k=1}^n\sqrt{(x_{k-1}-x_k)^2+(f(x_k)-f(x_{k-1}))^2=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+f'(c_k)}\Delta x_k
(ע"פ משפט לגראנז' יש כזה כך ש- והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה . היה נתון ש- רציפה ולכן גם רציפה וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל והשערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף . נוכיח זאת: נגדיר וכן ונניח . יהי נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת של כך ש-. אם Q עידון של אז ולכן . כעת נתון ש- רציפה ולכן אינטגרבילית ב-. לכן קיים כך שאם P חלוקה כלשהי של כך ש- ואם S סכום רימן כלשהו הבנו על P . לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של כך ש-. כבר למדנו ש- הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ- לכן הם שווים.