משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/27.3.11
מתוך Math-Wiki
< משתמש:אור שחף | 133 - הרצאה
יישומים של אינטגרציה (המשך)
- שטח הפנים של גוף סיבוב (ללא הבסיסים): נחלק את הקטע לתתי קטעים עבור כמה k-ים. שטח הפנים הוא (כאשר r רדיוס הבסיס הגדול יותר של הקונוס הנוצר בקטע= וכן . לפי זה שטח המעטפת כולו מקורב ע"י הסכום . כאשר ביטוי זה שואף לאינטגרל והוא שטח המעטפת לגוף הסיבוב הנוצר ע"י סיבוב בין a ל-b סביב ציר ה-x.
דוגמה
נחשב את שטח המעטפת (=שטח הפנים) של כדור בעל רדיוס r: מתקיים . השטח הואנשים לב כי שטח עיגול הוא והיקפו כמו כן נפח כדור הוא ושטחו . הסבר גרף 1. מכאן שתוספת השטח בערך שווה ל-, ז"א . בגבול זה מדויק: . לעומת זאת, עבור ריבוע גרף 2 ההיקף הוא והשטח - - ההיקף אינו נגזרת השטח. אבל גרף 3 היקף: , שטח: ושוב ההיקף הוא נגזרת השטח.
נחשב שטח פנים של כדור ללא אינטגרל: גרף 4 עפ"י שיוויון משולשים ולכן אותה חתיכת הגרף 'S' מסתובבת ליצור שטח . ז"א בכל מקום שנבנה שטח ע"י סיבוב קטע באורך יווצר שטח באורך . כעת אם נסכם על כל הקטעים לאורך הקטע נבנה שטח כולל , כפי שציפינו. - בפיזיקה, כאשר כוח קבוע פועל בקטע באורך s אומרים שהוא עשה עבודה .כעת נחשב את העבודה שנעשית ע"י כוח משתנה לאורך הקטע בציר הזמן. נעשה חלוקה . בכל תת קטע , תקבל מקסימום ומינימום ולכן העבודה הנעשית ע"י F בקטע (נקרא לה ) מקיימת . בסה"כ העבודה לאורך הקטע היא כאשר . יש כאן וכאשר זה שואף לגבול אחד .
- החוק השני של ניוטון אומר ואם מדובר בחלקיק או אדם שהולך בקו ישר (על ציר ה-x) אז התנועה שלו מתוארת ע"י הפונקציה (לכל t נקודה בזמן). לפיכך מהירותו היא ותאוצתו . לפי ניוטון . לפי כלל השרשרת אפשר לכתוב ולכן . לכן העבודה שנעשית ע"י בין a ל-b היא ז"א העבודה שווה לשינוי באינרגיה הקינטית.
הסבר לנוסחה: . כאן מניחים ש- ו-. בזה נוצרת פונקציה מרוכבת . למדנו את כלל השרשרת כלומר .
מבוא לאינטגרציה נומרית
נביא כאן 4 שיטות לקירוב של אינטגרל מסוים:
- אינטגרציה בעזרת פיתוח טיילור. לדוגמה, נחשב בדיוק של : כבר למדנו פיתוח טיילור לפונקציה : כאשר לאיזה c בין 0 ל-t. נציב : . לכן . אנו זקוקים ל-n כך ש-. לכל מתקיים ולכן השארית חסומה ע"י . אכן, עבור זה מספיק קטן. לפי זה השיטה הזאת לא תמיד מועילה כי
- לא כל פונקציה גזירה אינסוף פעמים כדי שנוכל לחשב ל-n כלשהו.
- יש פונקציות בעלות אינסוף נגזרות שפשוט לא מקורבות היטב ע"י פיתוח טיילור, ובפרט על קטע ארוך.
- יש פונקציות שקשה לחשב את פיתוח טיילור שלהן כי הוא תלוי בנגזרת מסדר גבוה.
- קירוב ע"פ סכומי רימן. נניח ש-f רציפה בקטע . נקח כלשהו ונעשה חלוקה שווה של : כאשר לכל k נגדיר (כאשר h הוא אורך הפסיעה בין שתי נקודות החלוקה). הקירוב לאינטגרל נתון ע"י סכום רימן . כעת נניח ש-f בעלת נגזרת רציפה ב- ונחשב את סדר גודל הטעות בקירוב הנ"ל: . בתוך הקטע הקטן נסתמך על משפט לגראנז' לומר עבור c בין x ל-. נעביר אגף לומר ולכן . היא התרומה של קטע זה לסכום רימן. האינטגרל = הטעות. כעת, אם נסמן נוכל להסיק