משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/22.3.11
תוכן עניינים
האינטגרל המסויים (המשך)
דוגמאות
- .
- שיטה א - נתעלם מהגבולות עד למציאת הפונקציה הקדומה: נציב . לכן .
- דרך ב - נחליף את הגבולות במהלך החישוב: ולכן .
- נחשב שטח עיגול בעל רדיוס r. . לכן השטח הוא . נציב ואז הערה: כאשר החלפנו את גבולות האינטגרציה בהצגה היינו צריכים לבחור כך ש-, אבל עבור מעגל שרדיוסו r מתחלק ב-4 עם שארית 1 היינו יכולים לבחור גם כי אז , ועבור יכולנו לבחור . אם כן היינו מוצאים הטעות נובעת מכך שקבענו ש-, מה שנכון רק כאשר . הטווח של האינטגרציה היה , שכולל תחומים בהם . בתחומים אלה צריך לבחור ולחלק את הקטע לתחומים שונים לפי הסימן של .
יישומים של אינטגרציה
-
שטח
אם בקטע מתקיים כבר ראינו שהשטח בין הגרפים הוא . -
נפח של גוף סיבוב
נסובב את השטח מתחת לגרף בין a ל-b סביב ציר ה-x ונחשב את הנפח הנוצר. עבור קבוע הסיבוב יוצר גליל שנפחו ידוע לנו: . כעת נניח ש- רציפה ב- ונחשב את הנפח הנוצר ע"י סיבוב הגרף. נקח חלוקה כלשהי P של , . תחילה נעיין בנפח הנוצר כאשר אותו חלק מהגרף שמעל מסתובב סביב ציר ה-x. עפ"י המשפט השני של וירשטרס יש ל-f מקסימום ומינימום בקטע זה. נסמן ב- הנפח שנוצר ע"י חלק זה של הגרף של f. אז מתקיים . יוצא שהנפח בסה"כ הוא ומתקיים . נשים לב שהסכום בצד ימין הוא בדיוק ובצד שמאל עבור החלוקה P. נשאיף וכיוון ש-f רציפה גם רציפה ולכן שני הסכומים הנ"ל שואפים לאותו הגבול: .
דוגמאות
- נחשב נפח של כדור בעל רדיוס r:
- נחשב נפח של חרוט בעל גובה h ורדיוס בסיס r. בסרטוט משמאל יש גרף סיבוב המתקבל מסיבוב משולש סביב ציר ה-x. הפונקציה היא ולפיכך הנפח הוא כלומר נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל בעל אותו גובה ורדיוס בסיסים.
-
ממוצע
תהא f מוגדרת ורציפה ב- ונחשב את הממוצע של f בקטע זה באופן הבא: לכל נגדיר חלוקה של הקטע לקטעים שווים . כאשר . הממוצע של f בנקודות החלוקה הוא . לפי בחירת , לכל k מתקיים ונובע: (כאשר הוא סכום רימן). נשאיף ומכיוון שבמקרה כזה מצאנו שהממוצע של f שואף ל-. באותה דרך ניתן לחשב ממוצע של כל פונקציה אינטגרבילית, גם אם היא לא רציפה. גישה אחרת (אינטואיטיבית): אם רציפה אז הוא השטח שמתחת לגרף חלקי אורך בסיס השטח, שזה הממוצע. -
אורך הגרף
עבור פונקציה f רציפה ב- נעשה חלוקה של הקטע. החלוקה גורמת לחלוקת הגרף ע"י נקודות , כאשר לכל k . קירוב סביר לאורך הגרף נתון ע"י , כאשר הוא המרחק בין הנקודות A ו-B. מרחק זה שווה ל-. לכן אורך הגרף L מקיים ואפשר להגדיר את L ע"י . לפי זה L תמיד מוגדר .
נניח ש-f' קיימת ורציפה ב- ונקח חלוקה P כלשהי. כבר ראינו ש-(ע"פ משפט לגראנז' יש כאלה כך ש-) והגענו לסכום רימן עבור הפונקציה . היה נתון ש- רציפה ולכן גם רציפה, וסכומי רימן אלה שואפים לאינטגרל . השערה מאוד סבירה היא שזהו אורך הגרף . נוכיח זאת: נגדיר וכן ונניח . יהי נתון. לפי הגדרת הסופרימום קיימת חלוקה מסויימת Q של כך ש-. אם Q' עידון של Q אז ולכן . כעת נתון ש- רציפה ולכן אינטגרבילית ב-. לפיכך קיימת כך שאם P חלוקה כלשהי של כך ש- ואם S סכום רימן כלשהו הבנוי על P אז . לבסוף נבחר P להיות עידון כלשהו של Q כך ש-. כבר למדנו ש- הוא סכום רימן S עבור האינטגרל I שבנוי על P. מכל זה נסיק ז"א I ו-L הם שני מספרים קבועים שהפרשם קטן מ- ומכאן נובע שהם שווים.
דוגמה: נגדיר . היא רציפה בקטע הסגור אבל אורך הגרף הוא .