משתמש:אור שחף/133 - תרגול/8.5.11
את דוגמה 6 לא סיימנו בתרגול הקודם ולכן השלמנו אותה ב-8.5.11. חלק זה מופיע בסיכום התרגול הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
אינטגרל
דוגמה 1
קבעו האם מתכנס או מתבדר.
פתרון
נחלק לשני אינטגרלים . עבור מתקיים , לכן . ברור ש- מתכנס ולכן, לפי מבחן ההשוואה, מתכנס.
עבור מתקיים , ולכן גם כן מתבדר לפי מבחן ההשוואה. לסיכום האינטגרל מתבדר.
נושא שני:
התכנסות של פונקציות
לדוגמה נתבונן בסדרת הפונקציות . קל לראות שאת סדרת הפונקציות ניתן לרשום כ-. לדגמה, נבחר . קל לראות ש-, ולכן היא פונקצית הגבול.
הגדרות
- סדרה של פונקציות היא התאמה שבה לכל n טבעי מותאמת פונקציה .
- אם לכל בקטע הסדרה מתכנסת, אז נאמר כי סדרת הפונקציות "מתכנסת נקודתית" ונסמן .
דוגמה 1
קבעו התכנסות של ב-.
פתרון
נחלק לשני מקרים:
- אם אז .
- אם אז .
דוגמה 2
בדקו התכנסות של ב-.
פתרון
נחלק למקרים:
הגדרה: תהינה סדרת פונקציות בקטע I. נאמר כי מתכנסת במ"ש אם לכל קיים כך שלכל ולכל מתקיים .
דוגמה 3
נתונה . קבע האם f מתכנסת נקודתית/במ"ש ב-.
פתרון
במקרה שלנו קל לראות ש- מתכנסת נקודתית ל- כי . מסקנה: .
כדי לבדוק התכנסות במ"ש נשתמש בהגדרה. צריך להתקיים שלכל קיים כך שלכל ולכל מתקיים . נציב: . לכן מספיק לבחור ונקבל שיש גם התכנסות במ"ש.
דוגמה 4
הראה כי לא מתכנסת במ"ש ב-.
פתרון
מצאנו בדוגמה 1 ש-. נשים לב כי ז"א (לפי הגדרת הגבול). לכן ולכן ההתכנסות לא במ"ש.