משתמש:אור שחף/133 - תרגול/15.5.11
תוכן עניינים
התכנסות במ"ש (המשך)
משפט: במ"ש בקטע I אם"ם לכל יש כך שלכל מתקיים .
דוגמה 1
תהי . קבעו התכנסות בכל אחד מהקטעים הבאים:
- עבור
- בקטע
פתרון
פונקציית הגבול היא .
- נראה התכנסות במ"ש ב-: .
- נראה שההתכנסות נקודתית בלבד ב-: .
דוגמה 2
קבע האם מתכנסת במ"ש ב-.
פתרון
קל לראות ש-. נבדוק התכנסות במ"ש: . נחפש מקסימום: וקל לראות שהנגזרת מתאפסת עבור . ברור ש- מונוטונית יורדת ב- ולכן זו אכן נקודת מקסימום גלובלית. מתקיים ולכן . מכאן שההתכנסות נקודתית בלבד.
דוגמה 3
תהי סדרת פונקציות המתכנסת במ"ש לפונקציה f, האם f חסומה?
פתרון
נבחר לדוגמה בקטע . ברור כי וכי אם אז , לכן f לא חסומה.
דוגמה 4
תהי סדרת פונקציות המתכנסת לפונקציה f במ"ש ב-I. נוכיח כי אם כל אחת מהפונקציות חסומה ב-I, אזי גם f חסומה ב-I.
פתרון
נרשום . נתון כי ההתכנסות במ"ש ולכן , בפרט עבור . כמו כן חסומה ב-I (מהנתון) כלומר קיים M כך ש- ולכן מתקבל ש- לכל .
משפט: אם מתכנסת במ"ש בקטע I וכל רציפה אזי f רציפה.
דוגמה 5
ניתן דוגמה לסדרת פונקציות רציפות המתכנסות לפונקציה רציפה אבל לא מתכנסת במ"ש.
פתרון
נגדיר את הפונקציה הבאה: . קל לראות שהפונקציה הנ"ל מוגדרת בקטע , אפשר לראות שהפונקציה הנ"ל רציפה.
לכל יש כך שלכל מתקיים שם מתקיים , כלומר סדרה קבועה מ- מסויים. כמו כן ולכן ההתכנסות אינה במ"ש.
טורים של פונקציות
דוגמה 6
נסמן לכל n, בקטע . מה היא פונקצית הסכום ?
פתרון
.
דוגמה 7
נוכיח כי הטור מתכנס ל- במ"ש בקטע כאשר .
פתרון
בזכות טורי טיילור ברור שיש התכנסות נקודתית, נותר לבדוק התכנסות במ"ש. נסמן . כאשר השארית בין הטור-טיילור מסדר N לבין מתקיים . כמו כן . נוכיח ש- וכך נוכיח שההתכנסות במ"ש. מספיק להסתכל על , לכן מתכנס ובפרט .
דוגמה 8
בדקו התכנסות במ"ש של .
פתרון
נשים לב כי לא ידועה לנו פונקצית הגבול של הטור ולכן לא ניתן להוכיח התכנסות במ"ש ישירות מההגדרה. במקום, נפנה לתנאי קושי: יהי נתון. ברור כי . הטור מתכנס ולכן מקיים את תנאי קושי, כלומר קיים כל שלכל מתקיים . לכן, עבור אותו , לכל מתקיים .