אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
מתוך Math-Wiki
תוכן עניינים
אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
תהי פונקציה מהצורה כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב כאשר נקודת הכשל האפשרית היחידה באלגוריתם היא חוסר היכולת לפרק את הפולינום q לגורמים אי פריקים.
פרט למצב זה האלגוריתם יביא בהכרח לפתרון הבעייה.
מצב ראשון
ניתן למצוא קבוע c כך ש כך ש.
אז רושמים
וממשיכים לשלב הבא:
מצב שני
- נפרק את q לגורמים אי פריקים:
- כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
- נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים .
- נחשב כל מחובר בנפרד:
אינטגרל מהצורה
נבצע הצבה על מנת לקבל:
אינטגרל מהצורה (כאשר המכנה אי פריק)
- דבר ראשון, נבצא את המצב הראשון באלגוריתם על מנת לצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה
- שנית, נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל
- כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה
- נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
מצב שלישי
- קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים וגם .
- נפריד את האינטגרל לשניים
- נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.