88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 3

יחסי סדר

הגדרה: יחס R על A נקרא אנטי-סימטרי אם מתקיים $\forall x,y\in A:[(x,y)\in R]\and[(y,x)\in R] \rightarrow (x=y)$

כלומר, אם $x\neq y$ אז לא יכול להיות שמתקיים היחס בין x לבין y וגם היחס בין y לx.

הגדרה: יחס R על A נקרא יחס סדר חלקי אם R רפלקסיבי, טרנזיטיבי ואנטי-סימטרי

דוגמאות ליחסי סדר חלקי:

• היחס 'קטן-שווה' על המספרים
• היחס 'מוכל-שווה' על הקבוצות

הגדרה: דיאגרמת הסה Hassse

הגדרות. יהיו A קבוצה וR יחס סדר חלקי על הקבוצה:

• איבר $x\in A$ נקרא מינמלי ביחס לR אם $\forall y\in A:(y,x)\in R \rightarrow y=x$. כלומר, אין איבר 'קטן' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
• איבר $x\in A$ נקרא מקסימלי ביחס לR אם $\forall y\in A:(x,y)\in R \rightarrow y=x$. כלומר, אין איבר 'גדול' מx. לא חייב להתקיים ש-x ביחס כלשהו עם איבר כלשהו.
• איבר $x\in A$ נקרא מינימום ביחס לR אם $\forall y\in A:(x,y)\in R$. כלומר, x 'קטן' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה הריקה תחת יחס הכלה)
• איבר $x\in A$ נקרא מקסימום ביחס לR אם $\forall y\in A:(y,x)\in R$. כלומר, x 'גדול' מכל האיברים. x חייב להיות ביחס עם כל האיברים בקבוצה. (דוגמא: הקבוצה B תחת יחס ההכלה על קבוצת החזקה של B)

הערה: קל להוכיח מתוך תכונת האנטי-סימטריות שאם קיים איבר מינימום הוא יחיד (למרות שהוא לא חייב להיות קיים), ונכון הדבר לגבי המקסימום.

דוגמא.

נביט בקבוצה $A=\{1,2,3,4,5\}$ ונגדיר עליה יחס סדר חלקי:

$R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(2,4),(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)\}$

(הזוגיים 'גדולים' מכל אי הזוגיים ומהזוגיים הקטנים מהם)

• 5,3,1 הינם איברים מינימליים שכן אין איבר שקטן מאף אחד מהם. הם אינם מינימום כי אף אחד מהם לא קטן מכל האיברים האחרים.
• 4 הינו מקסימום של הקבוצה, הוא בוודאי מקסימלי
• 2 קטן מחלק מהאיברים וגדול מאחרים לכן הוא כלום.

הגדרה: יהי R יחס על A, אזי היחס ההופכי מוגדר להיות $R^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in R\}$

תרגיל.

הוכח שאם R יחס סדר חלקי, גם ההופכי שלו יחס סדר חלקי

פתרון.

• רפלקסיביות: לכל איבר a מתקיים $(a,a)\in R$ ולכן $(a,a)\in R^{-1}$
• טרנזיטיביות: נניח $(x,y),(y,z)\in R^{-1}$ לכן מתקיים $(y,x),(z,y)\in R$ לכן לפי הטרנזיטיביות של R מתקיים $(z,x)\in R$ ולכן $(x,z)\in R^{-1}$.
• אנטי-סימטריות: אם x ביחס לy וגם y ביחס לx הדבר נכון באופן זהה לR ולהופכי שלו, ולכן x=y.

הגדרות. יהיו A קבוצה, B קבוצה המוכלת בה וR יחס סדר חלקי:

• חסם מלעיל של B הוא איבר $x\in A$ כך שמתקיים $\forall y\in B:(y,x)\in R$
• חסם מלרע של B הוא איבר $x\in A$ כך שמתקיים $\forall y\in B:(x,y)\in R$
• החסם העליון (סופרמום) של B הינו המינימום של קבוצת חסמי המלעיל (אם קיים). מסומן $sup(B)$
• החסם התחתון (אינפימום) של B הינו המקסימום של קבוצת חסמי המלרע (אם קיים). מסומן $inf(B)$

דוגמא.

נשוב לדוגמא הקודמת. נביט בתת הקבוצה המכילה את המספרים האי זוגיים בלבד $B=\{1,3,5\}$. קבוצת חסמי המלעיל של B הינה $\{2,4\}$. המינימום של קבוצה זו הוא 2 ולכן הוא החסם העליון של B. אין חסם מלרע ל-B ולכן בוודאי אין לה חסם תחתון.

דוגמא. נביט במספרים הממשיים ובתת הקבוצה של כל המספרים עם מספר סופי של ספרות ששווים לספרות הראשונות של שורש 2. $B=\{1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...\}$. חסמי המלעיל של הקבוצה הינם כל המספרים שגדולים או שווים לשורש 2 ואילו שורש 2 הוא החסם העליון של הקבוצה.

שימו לב, אם נביט בקבוצה B כתת קבוצה של המספרים הרציונאליים, חסמי המלעיל שלה יהיו כל האיברים הגדולים משורש 2 אך מכיוון ששורש 2 אינו רציונאלי, אין לB חסם עליון.

דוגמא. נביט בקבוצת השלמים, ובתת קבוצה סופית שלה B. נביט ביחס "מחלק את". הסופרמום של B הוא המכפלה המשותפת המינימלית (lcm), והאינפימום הוא המחלק המשותף המקסימלי(gcd).

הגדרה. יהי R יחס סדר חלקי על A. אם לכל שני איברים a,b בA מתקיים $[(a,b)\in R]\or[(b,a)\in R]$ אזי R נקרא יחס סדר מלא.

תרגיל ממבחן.

הגדרה: תת קבוצה A של המספרים הממשיים נקראת 'מגניבה' אם לכל x,y בA כך ש-x שונה מ-y מתקיים שההפרש x-y אינו רציונאלי.

תהי B קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה, הוכח שלכל מספר ממשי שאינו שייך לB קיים איבר בB כך שההפרש בינהם הוא רציונאלי.

הוכחה.

נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B.

תרגיל.

נביט בQ אוסף השברים המצומצמים. נביט בR היחס המוגדר על ידי $(\frac{m_1}{n_1},\frac{m_2}{n_2})$ אם $(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)$. הוכיחו/הפריכו: R הינו יחס סדר חלקי.

פתרון.

נבדוק את תכונות היחס:

• רפלקסיביות - ברור.
• אנטי-סימטריות - אם $(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)$ וגם $(m_1\geq m_2)\and(n_1\geq n_2)$ אזי $(m_1= m_2)\and(n_1= n_2)$ ולכן שני השברים המצומצמים שווים.
• טרנזיטיביות - נובעת מהטרנזיטיביות של המונים והמכנים בנפרד.

לכן R הינו יחס סדר חלקי.