משתמש:אור שחף/133 - הרצאה/31.5.11
את דוגמה 4 לא סיימנו בשיעור הקודם ולכן השלמנו זאת ב־31.5.11. חלק זה מופיע בסיכום השיעור הקודם ולא בדף הנוכחי.
תוכן עניינים
טורי חזקות (המשך)
תזכורת: בהרצאה הקודמת הוכחנו ש- לכל והערנו שאם ניתן להציב נקבל את המשוואה היפה . כמו כן אמרנו ש- עבור ושאם מותר להציב אזי .
משפט 5 (משפט אבל)
נניח ש- בקטע ו- מתכנס ל-, אזי קיים ושווה ל-S.
הוכחה
נעזר בסכימה בחלקים: נסמן ולכן כאשר . לפי הנתון , ולכן אם אז ועבור מתקיים . כמו כן, (כי ). לכן ומכאן שעבור מתקיים . נרצה להוכיח ש-: יהי נתון ומכיוון ש- קיים כך שלכל יתקיים . נסמן וכן , לכן . עתה . לגבי נגדיר ולכן . עתה ולכן , לכן . לסיכום הוכחנו שאם אזי ולכן .
מסקנה
לגבי טור חזקות כללי בעל רדיוס התכנסות R:
- אם מתכנס ל-S אזי קיים ושווה ל-S.
- אם מתכנס ל-T אזי קיים ושווה ל-T.
הוכחה
- נציב ולכן עבור , כלומר עבור . נגדיר ולכן מתקיימים תנאי משפט אבל ומתקיים , לכן .
- נציב ונוכיח כמו בסעיף 1.
משפט 6 (משפט דיני)
נניח שלכל n רציפה ב- ונניח שסדרת הפונקציות מונוטונית, כלומר לכל הסדרה עולה או לכל הסדרה יורדת. כמו כן ידוע כי ו-f רציפה ב-, אזי ההתכנסות במ"ש.
הסבר
לפני ההוכחה נסביר למה צריך את כל הנתונים:
- אם הקטע פתוח במקום סגור, נבחר את הקטע ואת סדרת הפונקציות . ברור כי כל הפונקציות רציפות בקטע וסדרת הפונקציות מונוטונית, וכן הפונקציה הגבולית היא הפונקציה הרציפה , אבל כבר הוכחנו בעבר שההתכנסות אינה במ"ש.
- בקטע סגור נבחר באותה סדרת פונקציות. הפונקציה הגבולית היא שאינה רציפה, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
- נגדיר סדרת פונקציות לפי הגרף שמשמאל. כל רציפה ב- והן מתכנסות לפונקציה הרציפה 0, אבל סדרת הפונקציות לא מונוטונית, ואכן ההתכנסות אינה במ"ש.
- נגדיר ולכן סדרת הפונקציות מונוטונית אבל הפונקציות אינן רציפות, ואכן, למרות שהפונקציה הגבולית 0 רציפה, ההתכנסות אינה במ"ש.
הוכחה
במקרה הראשון נניח שסדרת הפונקציות יורדת מונוטונית. לכן היא סדרת פונקציות יורדת מונוטונית השואפת ל-0 ב-. נסמן (ולכן חיובית) ונניח בשלילה שההתכנסות אינה במ"ש בקטע. לפיכך קיים כל שלכל קיימים ו- עבורם . בפרט, עבור קיימים ו- כך ש-. עבור קיימים ו- כך ש- וכן הלאה. בדרך זו בונים תת סדרה של וסדרה ב- כך ש-. נמצאת ב- ולכן היא חסומה, אזי לפי משפט בולצאנו ויירשראס יש תת סדרה מתכנסת, נאמר ל-. לפי הבנייה הנ"ל מתקיים ומכיוון ש- קיים כך שלכל יתקיים . פונקציה רציפה שקטנה מ- ב- ולכן יש סביבה S של שבה קטנה מ-. ה- יורדות ולכן לכל ולכל מתקיים , אבל לפי הבנייה ולכן לכל l מספיק גדול מתקיים , בסתירה לכך שלכל l מתקיים . הסתירה מוכיחה את המשפט במקרה הזה.
במקרה השני נניח שסדרת הפונקציות עולה מונוטונית. נסמן ולכן יורדת ומתקיימים שאר תנאי המשפט, ולכן במ"ש. מכאן ש- במ"ש והוכחנו גם את המקרה השני.
השתנות חסומה
אינטואיטיבית, פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה שהשינוי שלה בציר ה-y הוא סופי (הגדרה מדוייקת ניתן בהרצאה הבאה).
דוגמאות
- ההשתנות הכללית של בקטע היא 3 (ובפרט היא חסומה) כי הפונקציה עלתה 1 וירדה 2.
- על ההשתנות של היא 1 כי הפונקציה ירדה מ-1 ל-0.
- לפונקציה ב- יש השתנות אינסופית כי היא עלתה וירדה בין אינסוף פעמים.
- נגדיר בקטע . האם יש לה השתנות חסומה? כאן יותר קשה לנחש מה ההשתנות כי מחד יש אינסוף עליות ומורדות, ומצד שני כאשר גם גדלי העליות והירידות שואפים ל-0. נוכיח שההשתנות אינה חסומה: לכל יש לפונקציה נקודת קיצון ב-, וב- היא עולה או יורדת מהקו ל-, לכן ההשתנות שלה בקטע זה היא , שגדול מ-. מכאן נובע שההשתנות הכוללת ב- גדולה מ-, ומכאן של-f אין השתנות חסומה ב-.