משתמש:אור שחף/133 - רשימת משפטים

במשפטים הבאים, אלא אם צויין אחרת, נסמן:

• $c$ הוא קבוע.
• $f,g$ פונקציות.
• הקטע הנתון הוא הקטע הסגור $[a,b]$.
• אם מצויין שלפונקציה יש תכונה מסויימת אזי הכוונה לכך שהתכונה מתקיימת בקטע הנתון (למשל: "$f$ חסומה" = "$f$ חסומה ב-$[a,b]$").
• $P$ היא חלוקה $\{x_0,x_1,\dots,x_n\}$ של הקטע הנתון כך ש-$a=x_0<x_1<\dots<x_n=b$.

• $Q$ היא העדנה של $P$.
• $P'=\{a,c_1,c_2,\dots,c_n,b\}$ היא חלוקה נוספת של הקטע הנוצרת מהחלוקה $P$ כך ש-$\forall1\le k\le n:\ c_k\in[x_{k-1},x_k]$ ו-$\forall 2\le k\le n:\ c_{k-1}\ne c_k$.

אינטגרלים

• אם $F$ ו-$G$ קדומות ל-$f$ בנקודה כלשהי אז קיים $c$ כך ש-$F(x)=G(x)+c$.
• אם $f$ חסומה ב-$[a,b]$ אזי $m(b-a)\le\underline S(f,P)\le\overline S(f,P)\le M(b-a)$.
• אם $|Q|=|P|+r$ (כלומר, $Q$ מתקבלת מ-$P$ ע"י הוספת $r$ נקודות) ו-$f$ חסומה בקטע אזי $0\le\overline S(f,P)-\overline S(f,Q)\le r\lambda(P)\Omega$ וכן $0\le\underline S(f,Q)-\underline S(f,P)\le r\lambda(P)\Omega$.
• לכל חלוקה $Q$ של הקטע הנתון (לאו דווקא העדנה של $P$), אם $f$ חסומה בקטע אזי $\underline S(f,P)\le\overline S(f,Q)$.
• לכל $f$ אינטגרבילית מתקיים $\underline\int_a^b f\le\overline{\int}_a^b f$.
• תהי $f$ חסומה. אזי $\underline\int_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\underline S(f,P)$ וגם $\overline{\int}_a^b f=\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)$.
• נניח ש-$f$ חסומה. $f$ אינטגרבילית אם"ם $\lim_{\lambda(P)\to0}\overline S(f,P)-\underline S(f,P)=0$.
• נניח ש-$f$ חסומה. $f$ אינטגרבילית אם"ם לכל $\varepsilon>0$ קיימת חלוקה $P$ של $[a,b]$ כך ש-$\overline S(f,P)-\underline S(f,P)<\varepsilon$.
• אם $f$ רציפה אז $f$ אינטגרבילית.

• הכללה: אם $f$ רציפה וחסומה בקטע הפתוח $(a,b)$ אזי $f$ אינטגרבילית.

• הכללה להכללה: אם $f$ רציפה בקטע בכל נקודה למעט במספר סופי של נקודות והיא חסומה אזי $f$ אינטגרבילית.

• אם $f$ מונוטונית אזי היא אינטגרבילית.
• נניח ש-$a<c<b$. אזי $f$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$, ב-$[a,c]$ וב-$[c,b]$ אם"ם היא אינטגרבילית ב-$[a,b]$, ואם כן אז $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_c^b f$.

• הכללה: עבור $f$ כנ"ל ו-$a=x_0,x_1,\dots,x_n=b$ (הנקודות לאו דווקא מסודרות בסדר עולה) מתקיים $\int\limits_a^b f=\sum_{k=1}^n\int\limits_{x_{k-1}}^{x_k} f$.

• אם $f$ חסומה אז $\underline S(f,P)\le S(f,P,P')\le\overline S(f,P)$. יתר על כן, $\underline S(f,P)=\inf_{P'}\ S(f,P,P')$ ו-$\overline S(f,P)=\sup_{P'}\ S(f,P,P')$.
• הגדרות האינטגרל לפי דרבו ולפי רימן שקולות.
• לינאריות: עבור $f,g$ אינטגרביליות מתקיים $\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$.
• מונוטוניות: אם $f,g$ אינטגרביליות וכן $\forall x\in[a,b]:\ f(x)\ge g(x)$ אזי $\int\limits_a^b f\ge\int\limits_a^b g$.

• חיוביות: בפרט מתקיים שאם $f$ אינטגרביליות ואי-שלילית אזי $\int\limits_a^b f\ge0$.

• הכללה לאי-שיוויון המשולש: אם $|f|$ אינטגרבילית אז $f$ אינטגרבילית ו-$\left|\int\limits_a^b f\right|\le\int\limits_a^b |f|$.
• אם $f$ אינטגרבילית וחסומה אז $m(b-a)\le\int\limits_a^b f\le M(b-a)$.

• מקרה פרטי: אם $\forall x\in[a,b]:\ |f(x)|\le M$ ו-$f$ אינטגרבילית אז $\left|\int\limits_a^b f\right|\le M(b-a)$.

• מקרה פרטי: אם $f(x)=M$ (פונקציה קבועה) אז $\int\limits_a^b f=M(b-a)$.

• המשפט היסודי של חשבון אינטגרלי: תהי $f$ אינטגרבילית ותהי $F$ כך ש-$\forall x\in[a,b]:\ F(x):=\int\limits_a^x f$. אזי $F$ רציפה וכן לכל נקודה $x_0$ ב-$[a,b]$ שבה $f$ רציפה, $F$ קדומה ל-$f$ (כלומר, $F$ גזירה ב-$x_0$ כך ש-$F'(x_0)=f(x_0)$).
• נוסחת ניוטון-לייבניץ: תהי $f$ רציפה. אזי $\int\limits_a^b f=[F(x)]_{x=a}^b=F(b)-F(a)$.
• לכל $f$ רציפה יש פונקציה קדומה.
• אינטגרציה בחלקים: נניח כי $f',g'$ רציפות. אזי $\int f(x)g'(x)\mathrm dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\mathrm dx$.

• $\int\limits_a^b f\cdot g'=[f(x)g(x)]_{x=a}^b-\int\limits_a^b f'\cdot g$

• שיטת ההצבה: $\int f(g(x))g'(x)\mathrm dx=F(g(x)){\color{Gray}+c}$.

• $\int\limits_a^b f(g(x))g'(x)\mathrm dx=\int\limits_{g(a)}^{g(b)}f(g(x))\mathrm dg(x)$

• כל פונקציה רציונלית $\frac pq$ כך ש-$\deg(p)<\deg(q)$ ניתנת לפירוק יחיד כסכום של שברים חלקיים $\frac A{(x-x_0)^n}+\frac{Bx+c}{(x^2+bx+c)^k}$ כאשר $A,B,C,x_0\in\mathbb R\ \and\ n,k\in\mathbb N$ ול-$x^2+bx+c$ אין שורשים ממשיים.
• נפח גוף הסיבוב הנוצר מסיבוב השטח שמתחת ל-$f$ אי-שלילית בין $a$ ל-$b$ סביב ציר ה-$x$ הוא $\int\limits_a^b \pi f^2$.
• אם $f$ רציפה אז הממוצע שלה בקטע $[a,b]$ הוא $\frac1{b-a}\int\limits_a^b f$.
• אם $f$ גזירה אז אורך הגרף שלה בקטע $[a,b]$ הוא $\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$.
• שטח המעטפת (ללא הבסיסים) של גוף סיבוב הנוצר מסיבוב הגרף של $f$ רציפה סביב ציר ה-$x$ בקטע $[a,b]$ הוא $\int\limits_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}\mathrm dx$.
• קירוב האינטגרל בעזרת טורי טיילור: תהא $f$ בעלת נגזרת $n$-ית רציפה. אזי $\int\limits_a^b f\approx\int\limits_a^b P_n$ כאשר $P_n$ הוא פיתוח טיילור מסדר $n$ של $f$ והשארית היא $\int\limits_a^b R_n=f^{(n+1)}(c)\frac{b^{n+2}-a^{n+2}}{(n+2)!}$ עבור $\min\{a,x_0\}\le c\le\max\{b,x_0\}$ כאשר פיתוח טיילור נעשה סביב $x_0$.
• קירוב האינטגרל בשיטת המלבנים: תהא $f$ בעלת נגזרת רציפה והחלוקה $P$ היא חלוקה שווה כאשר לכל $k$ מתקיים $\Delta x_k=h$. אזי $\int\limits_a^b f\approx h\sum_{k=1}^n f(x_k)$ והשארית חסומה ע"י $\frac{b-a}2Mh$ כאשר $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f'(x)\right|$.
• קירוב האינטגרל בשיטת הטרפזים: תהא $f$ בעלת נגזרת שנייה רציפה והחלוקה $P$ היא חלוקה שווה כאשר לכל $k$ מתקיים $\Delta x_k=h$. אזי $\int\limits_a^b f\approx h\frac{f(x_0)+f(x_n)}2+h\sum_{k=1}^{n-1}f(x_k)$ והשארית חסומה ע"י $\frac5{12}(b-a)Mh^2$ כאשר $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|$.
• קירוב האינטגרל בשיטת סימפסון: תהא $f$ בעלת נגזרת רביעית רציפה והחלוקה $P$ היא חלוקה שווה כאשר לכל $k$ מתקיים $\Delta x_k=h$ ו-$n$ זוגי. אזי $\int\limits_a^b f\approx\frac h3\left(f(x_0)+4\sum_{k=1}^{n/2} f(x_{2k-1})+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f(x_{2k})+f(x_n)\right)$ והשגיאה חסומה ע"י $\frac{b-a}{180}Mh^4$ כאשר $M=\max_{x\in[a,b]}\left|f^{(4)}(x)\right|$.
• תהיינה $f,g$ אינטגרביליות ב-$[a,\infty)$. אזי $f+cg$ אינטגרבילית ב-$[a,\infty)$ ומתקיים $\int\limits_a^\infty f+cg=\int\limits_a^\infty f+c\int\limits_a^\infty g$.
• תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב-$[a,\infty)$ ויהי $b>a$. אזי $f$ אינטגרבילית ב-$[a,\infty)$ אם"ם $f$ אינטגרבילית ב-$[b,\infty)$ ואם כן $\int\limits_a^\infty f=\int\limits_a^b f+\int\limits_b^\infty f$.
• $f$ מונוטונית עולה ב-$[a,\infty)$. אזי $\lim_{x\to\infty} f(x)$ קיים אם"ם $\sup_{x>a}\ f(x)<\infty$ ואם כן $\lim_{x\to\infty} f(x)=\sup_{x>a}\ f(x)$.
• $f$ אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-$[a,\infty)$. אזי $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^R f$ חסומים מלעיל, ואם לא אז $\int\limits_a^\infty f=\infty$.
• מבחן ההשוואה: נניח ש-$f,g$ אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-$[a,\infty)$ וכן $\forall x\in[a,\infty):\ f(x)\le g(x)$. אם $\int\limits_a^\infty g$ מתכנס אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס.
• מבחן ההשוואה הגבולי: $f,g$ אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-$[a,\infty)$ וכן $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb R$. אזי אם $\int\limits_a^\infty g$ מתכנס אז $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס.

• מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

• המבחן האינטגרלי לטורים: תהא $f$ אי-שלילית, מונוטונית יורדת ואינטגרבילית מקומית ב-$[k,\infty)$ עבור $k\in\mathbb N$ כלשהו. אזי $\int\limits_k^\infty f$ מתכנס אם"ם $\sum_{n=k}^\infty f(n)$ מתכנס.

• בפרט מתקיים $\sum_{n=k+1}^N f(n)\le\int\limits_k^N f\le\sum_{n=k}^{N-1} f(n)$.

• תהא $f$ מוגדרת ב-$[a,\infty)$. $\lim_{x\to\infty} f(x)$ קיים אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי בקטע, כלומר לכל $\varepsilon>0$ קיים $x_0>a$ כך שאם $x_2>x_1>x_0$ אזי $|f(x_2)-f(x_1)|<\varepsilon$.
• תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב-$[a,\infty)$. אזי $\int\limits_a^\infty f$ מתכנס אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0>a:\ \forall x_2>x_1>x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2} f\right|<\varepsilon$.
• תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב-$[a,\infty)$. אם $|f|$ אינטגרבילית בקטע אזי גם $f$ אינטגרבילית בו.
• מבחן דיריכלה: תהא $f$ רציפה ב-$[a,\infty)$ ונניח שהאינטגרלים החלקיים $\int\limits_a^b f$ חסומים כאשר $b\to\infty$. כמו כן תהא $g$ מונוטונית ובעלת נגזרת רציפה ב-$[a,\infty)$ ו-$\lim_{x\to\infty}g(x)=0$. אזי $\int\limits_a^\infty f\cdot g$ מתכנס.
• סכימה בחלקים: $\sum_{n=1}^N a_nb_n=\sum_{n=1}^{N-1}S_n(b_n-b_{n+1})+S_Nb_N$ כאשר $S_n=\sum_{k=1}^n a_k$.
• משפט דיריכלה לטורים: נניח שלטור $\sum_{n=1}^N a_n$ יש סכומים חלקיים חסומים ונניח ש-$\{b_n\}$ סדרה מונוטונית כך ש-$b_n\to0$. אזי $\sum_{n=1}^\infty a_nb_n$ מתכנס.
• אם $f,g$ אינטגרביליות ב-$(a,b]$ אזי לכל $c$ מתקיים $\int\limits_a^b f+cg=\int\limits_a^b f+c\int\limits_a^b g$.
• עבור $a<c<b$ ו-$f$ אינטגרבילית מקומית ב-$(a,b]$, $f$ אינטגרבילית בקטע אם"ם $f$ אינטגרבילית ב-$(a,c]$, ואם כן $\int\limits_a^b f=\int\limits_a^c f+\int\limits_b^c f$.
• תהי $f$ מונוטונית ב-$(a,b]$. אזי $\lim_{x\to a^+}f(x)$ קיים אם"ם $f$ חסומה ב-$(a,b]$.
• אם $f$ אי-שלילית ואינטגרבילית מקומית ב-$(a,b]$ אז $f$ אינטגרבילית ב-$(a,b]$ אם"ם האינטגרלים החלקיים $\int\limits_c^b f$ חסומים כאשר $c\to a^+$.
• מבחן ההשוואה: $f,g$ אי-שליליות ואינטגרביליות מקומיות ב-$(a,b]$ וכן $\forall \in(a,b]:\ f(x)\le g(x)$. אם $\int\limits_a^b g$ מתכנס אזי $\int\limits_a^b f$ מתכנס.
• מבחן ההשוואה הגבולי: $f,g$ אי-שליליות ואינטגרביליות מקומית ב-$(a,b]$ וקיים $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}$. אם $\int\limits_a^b g$ מתכנס אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.

• מקרה פרטי: אם בפרט הגבול שונה מ-0 אז שני האינטגרלים מתכנסים ומתבדרים כאחד.

• תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב-$(a,b]$. אזי $\int\limits_a^b f$ מתכנס אם"ם $\forall\varepsilon>0:\ \exists x_0\in(a,b):\ \forall a<x_1<x_2<x_0:\ \left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f\right|<\varepsilon$.
• תהא $f$ אינטגרבילית מקומית ב-$(a,b]$. אם $\int\limits_a^b |f|$ מתכנס אז $\int\limits_a^b f$ מתכנס.

סדרות וטורים של פונקציות

התכנסות במ"ש

סדרות

• $f_n\to f$ במ"ש על $I$, כלומר $\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>n_0:\ \forall x\in I:\ |f(x)-f_n(x)|<\varepsilon$, אם"ם $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in I}\ |f(x)-f_n(x)|=0$.
• נניח כי $f_n\to f$ במ"ש ב-$I$, ועבור $x_0\in I$ כלשהו $f_n$ רציפה ב-$x_0$ לכל $n$. אזי $f$ רציפה ב-$x_0$.
• $f_n\to f$ במ"ש ב-$[a,b]$ וכל $f_n$ אינטגרבילית בקטע. אזי $f$ אינטגרבילית בקטע ומתקיים $\int\limits_a^b f=\lim_{n\to\infty}\int\limits_a^b f_n$.
• $\{f_n\}_{n\in\mathbb N}$ היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-$I$, המתכנסות במ"ש ב-$I$ לפונקציה $g$. כמו כן, $\{f_n\}$ מתכנסת בנקודה אחת לפחות ב-$I$. אזי $f=\lim_{n\to\infty} f_n$ מוגדרת ב-$I$ ומתקיים $f'=g$.
• סדרת פונקציות $\{f_n\}$ מתכנסת במ"ש אם"ם היא מקיימת את תנאי קושי במ"ש, כלומר $\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ |f_n(x)-f_m(x)|<\varepsilon$.
• משפט דיני: נתון כי כל $f_n$ רציפה בקטע סגור $I$ והסדרות $\{f_n(x)\}_{n\in\mathbb N}$ עולות לכל $x\in I$ או יורדות לכל $x\in I$. כמו כן, $f_n\to f$ נקודתית ו-$f$ רציפה ב-$I$. אזי $f_n\to f$ במ"ש.

טורים

• טור פונקציות $\sum_{n=1}^\infty f_n$ מתכנס במ"ש אם"ם הוא מקיים את תנאי קושי במ"ש, כלומר $\forall\varepsilon>0:\ \exists n_0\in\mathbb N:\ \forall n>m>n_0:\ \forall x\in I:\ \sum_{k=m}^n f_k(x)<\varepsilon$.
• מבחן ה-M של ויירשטראס: נניח שכל $f_n$ מוגדרת ב-$I$ וחסומה שם, כלומר $\forall x\in I:\ |f_n(x)|\le M_n$ עבור $M_n$ כלשהו, וכן $\sum_{n=1}^\infty M_n$ מתכנס במובן הצר. אזי $\sum_{n=1}^\infty f_n$ מתכנס בהחלט במ"ש על $I$.
• נתון כי כל $f_n$ רציפה ב-$x_0\in I$ וכן $S=\sum_{n=1}^\infty f_n$ במ"ש על $I$. אזי $S$ רציפה ב-$x_0$.
• $S=\sum_{n=1}^\infty f_n$ במ"ש על $[a,b]$ וכל $f_n$ אינטגרבילית ב-$[a,b]$. אזי $S$ אינטגרבילית בקטע ומתקיים $\int\limits_a^b S=\sum_{n=1}^\infty\int\limits_a^b f$.
• $\{f_n\}_{n\in\mathbb N}$ היא סדרת פוקציות בעלות נגזרות רציפות ב-$I$. הטור $\sum_{n=1}^\infty f_n$ מתכנס בנקודה אחת לפחות בקטע, וטור הנגזרות $s=\sum_{n=1}^\infty f_n'$ מתכנס במ"ש על $I$. אזי $\sum_{n=1}^\infty f_n$ מתכנס במ"ש לפונקציה גזירה $S$ כך ש-$S'=s$.

טורי חזקות

• יהי $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ טור חזקות. רדיוס ההתכנסות $R=\frac1{\overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}$ מקיים שאם הנקודה $x$ מקיימת $|x-x_0|<R$ אזי הטור מתכנס בהחלט, ואם $|x-x_0|>R$ הטור מתבדר. כמו כן, הטור מתכנס במ"ש ב-$[x_0-r,x_0+r]$ לכל $0<r<R$.
• יהי $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ טור חזקות עם רדיוס התכנסות $R$. אם קיים $S=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$ במובן הרחב אזי $S=R$.
• יהי $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ טור חזקות עם רדיוס התכנסות $R>0$. אזי $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ היא פונציה המוגדרת ב-$(x_0-R,x_0+R)$, כך שנגזרתה בקטע זה היא $f'(x)=\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-x_0)^{n-1}$.

• הכללה: בתנאים הללו, $f$ גזירה אינסוף פעמים ו-$f^{(k)}(x)=\sum_{n=k}^\infty\frac{n!}{(n-k)!}a_n(x-x_0)^{n-k}$ לכל $k\in\mathbb N\cup\{0\}$. יתרה מזאת, רדיוס ההתכנסות של הטורים הגזורים הוא $R$.

• יהי $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ טור חזקות עם רדיוס התכנסות $R>0$. אזי לכל $n\in\mathbb N\cup\{0\}$ מתקיים $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$, ז"א הטור הוא טור טיילור של $f$ סביב $x_0$.
• יהי $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ טור חזקות עם רדיוס התכנסות $R>0$. אזי $f$ אינטגרבילית ב-$(x_0-R,x_0+R)$ ומתקיים לכל $x$ בקטע $\int\limits_{x_0}^x f=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}$. רדיוס ההתכנסות של טור האינטגרל הוא $R$.
• משפט היחידות לטורי חזקות: אם $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n$ לכל $x\in I$ אזי $\forall n:\ a_n=b_n$.
• משפט אבל: נניח ש-$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$ טור חזקות בעל רדיוס התכנסות $R$. אם $\sum_{n=0}^\infty a_nR^n$ קיים אזי $\lim_{x\to x_0+R^-}f(x)$ קיים ושווה לו, ואם $\sum_{n=0}^\infty a_n(-R)^n$ קיים אזי $\lim_{x\to(x_0-R)^+}f(x)$ קיים ושווה לו.

השתנות חסומה

• $f$ בעלת השתנות חסומה בקטע סגור. אזי $f$ חסומה.
• $f$ בעלת השתנות חסומה בקטע סגור אם"ם יש $g,h$ מונוטוניות עולות בקטע כך ש-$f=g-h$.
• תהי $f$ בעלת השתנות חסומה ב-$[a,b]$. אזי לכל $x_0\in[a,b)$ קיים $\lim_{x\to x_0^+} f(x)$ ולכל $x_0\in(a,b]$ קיים $\lim_{x\to x_0^-} f(x)$.
• תהי $f$ בעלת השתנות חסומה ב-$[a,b]$. אזי f אינטגרבילית ב-$[a,b]$.