משפט הדרגה
מתוך Math-Wiki
משפט הדרגה
יהיו V,W מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית . אזי מתקיים:
הוכחה
נסמן את הבסיס לגרעין ב-.
נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל-V, נסמנו ב- .
נוכיח כי בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
E פורש את ImT
כיוון שכל וקטור ב-V הינו צירוף לינארי של איברי הבסיס, T שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות איברי הבסיס.
לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל-V התמונות של איברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של T.
כלומר, .
ברור כי (הרי בחרנו את להיות בסיס לגרעין).
לכן מתקיים .
E בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס של איברי E:
לכן
לכן
ולכן קיים צירוף לינארי של איברי הבסיס לגרעין כך ש:
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של איברי הבסיס של V, ולכן כל המקדמים הם אפס
לכן E בת"ל.
ספירת מימדים וסיכום
הוכחנו, אפוא, כי E הינו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים ומימדים לכל תתי המרחבים המעורבים בעניין.