תחרות חנוכה לינארית 2 תשעב

תחרות זו, במסגרת הקורס אלגברה לינארית 2 תשע"ב, היא על כתיבת פתרונות לשאלות ממבחנים בנושא צורת ג'ורדן.

דירוג סופי - היכל התהילה:

הכלל לפיו דירגתי הוא חצי נקודה על פתרון שתוקן, וחצי נקודה על תיקון פתרון. מי שחושב שיש טעות שמשנה את הדירוג, מתבקש להודיע לי באימייל. בועז צבאן

1. עמנואל סגל (11)

2. אלעד איטח (7.5) ונפתלי וקסמן (6.5)

3. נעם ליפשיץ (3.5) - לנעם מגיעה תודה מיוחדת על עזרה בבדיקת הפתרונות.

4. אוהד קליין (2), נטע צדוק (2), אופיר שפיגלמן (1.5)

5. נוי מאור (1)

כל הכבוד לכל הזוכים בתחרות! אפשר להמשיך להוסיף פתרונות ולתקן או לשפר פתרונות, שלא על מנת לקבל פרס אלא לטובת הדורות הבאים...

הנחיות

0. קרא בעיון את החוברת על משפט ג'ורדן, כולל התירגול בסוף. פתרונות שיהיו מסובכים יותר מהשיטה הפשוטה שנלמדת בחוברת, לא יתקבלו.

1. חפש מבחנים באלגברה לינארית המכילים שאלות בנושא צורת ג'ורדן. למשל, יש בחינות במאגר הבחינות של ד"ר צבאן.

2. אם המבחן שמצאת אינו במאגר הבחינות של ד"ר צבאן, שלח לו עותק של המבחן באימייל (tsaban@math.biu.ac.il), כדי שיתווסף למאגר.

3. מצא במבחן זה שאלה שפתרונה דורש שימוש בכלים של צורת ג'ורדן, אשר טרם נכתבה להלן. כתוב את השאלה להלן, תחת כותרת האוניברסיטה המתאימה, והוסף קישור לפתרון, לפי הדוגמאות להלן. אפשר לעשות זאת על ידי העתקת הדוגמא להלן ושינוי הפרטים.

4. כל תלמיד שהעלה שאלה ופתרון מלא שלה, בלי טעויות, זוכה בשאלה זו. המטרה היא לזכות בכמה שיותר שאלות. בסוף התחרות, נפרסם דירוג של התלמידים, לפי מספר השאלות שפתרו. (תלמידים שלא יזכו בשאלות, ימוקמו אחרונים.)

שיתוף פעולה: תלמידים המעוניינים לשתף פעולה ולהעלות פתרון יחד (למשל, אם אחד יודע רק לקרוא והשני רק לכתוב) יכולים לעשות זאת, אך אז הניקוד על השאלה (נקודה אחת) יתחלק ביניהם בשווה. עדיין, זה עשוי להשתלם להם, אם יחד הם יפתרו יותר מאשר הסכום של מספר הפתרונות שכל אחד יכול להעלות לבד. וגם זה עשוי להיות יותר כיף.

שבת מנוחה: כדי לא לצאת מפרופורציות, וכדי שהתחרות תהיה הוגנת כלפי כל התלמידים, שאלות שיעלו בשבת (מזמן הדלקת הנרות ביום שישי ועד מוצאי שבת) לא יזכו בניקוד.

5. יש להעלות את הפיתרון בתוך הויקי (להלן דוגמא איך מעלים פתרון בויקי), ולא על ידי צירוף קובץ עם הפתרון. צירוף קובץ עם הפתרון אפשרי רק כדי לשמור את השאלה לעצמכם, אבל לא יזכה בנקודה כל עוד לא העליתם את הפתרון בויקי. לעזרה ראה: איך כותבים בויקי.

6. תלמיד שמצא שגיאה בפתרון קודם, יתאר את השגיאה בצורה ברורה בדף השיחה, ויתקנה, יזכה בשאלה וינשל את הפותר המקורי מבעלותו על שאלה זו. תיקון שגיאות כתיב אף הוא יבורך, אך אינו מזכה בשאלה. רק תיקון טעות של ממש בפיתרון נחשב לצורך הזיכוי. נכון לרגע כתיבת משפט זה, יש שגיאות בחלק מהפתרונות (הזדמנות לזריזים).

7. ייתכן שינתנו פרסים סימליים (אחד או יותר) לזוכים במקומות הראשונים, או בונוס בציון לפי המיקום ברשימה. בכל אופן, המופיעים במקומות הראשונים יזכו לכבוד רב!

• לנוחיותכם, להלן תבנית להעלאת שאלה. השלבים:

א. פיתחו תבנית זו על ידי הקלקה על "עריכה".

ב. העתיקו את תוכנה למקום שבו אתם מכניסים את השאלה החדשה שלכם, ושנו את הנתונים בהתאם.

ג. לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.

ד. הקישור לפיתרון יופיע בצבע אדום. הקליקו עליו וייפתח דף התשובה לשאלה. שם, רישמו את תשובתכם ושימרו (לחצו על כפתור "שמירה" שבתחתית חלון העריכה.).

זה הכל.

תש?"?, מועד א/ב', שאלה ? (מרצה+מרצה)

להכניס כאן את השאלה.

פתרון (שם הפותר)

אוניברסיטת בר-אילן

???, מועד א', שאלה 5 (עדין)- אלעד איטח

א. הגדר ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של ערך עצמי. ב. מצא צורת ז'ורדן של $A=\begin{pmatrix} 2&2 &-1 \\ 0 &-1 &2 \\ 0 &-6 &6 \end{pmatrix}$

פתרון 6 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/015.pdf (השנה לא ברורה).

תש"ס, מועד א', שאלה 11 רב-ברירה (עדין+ארד+פייגלשטוק) - אלעד איטח

תהי $A=\begin{pmatrix} 2 &1 &0&0 \\ 0 &2 &0 &0 \\ 0 &0 &2 &0 \\ 0 &0 &0 &5 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{4X4}$

$V_{\lambda }\subseteq \mathbb{R}^{4}$ יסמן את מרחב הווקטורים העצמיים המתאימים לע"ע $\lambda$. אזי:

א. $dim(V_{2})+dim(V_{5})=3$

ב. אף אחת מהתשובות האחרות אינה נכונה.

ג. $dim(V_{2})=3$

ד. $V_{2}\oplus V_{5}=\mathbb{R}^{4}$

פתרון 5 (אלעד איטח)

קישור למקור:http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/Pdf/lin2a60.pdf

תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (פרופ' מינה טייכר) - אלעד איטח,נעם ליפשיץ

תהי $A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0 &1 &1 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$

א. מצא את הפולינום האופייני של A. ב. מצא את הפולינום המינימאלי של A. ג. מצא את הערכים העצמיים של A. ד. מצא ריבוי אלגברי וריבוי גיאומטרי של כל ע"ע(בעזרת ב'). ה. מצא צורת ז'ורדן של A (באמצעות א' ו-ב').

פתרון (אלעד איטח,נעם ליפשיץ)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/079.pdf

תשע"א, מועד א', שאלה 4 (צבאן+קוניאבסקי) - אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ

נניח שלמטריצות $A,B\in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ יש אותו פולינום אופייני, וכן אותו פולינום מינימלי, הוכח שהמטריצות A וB דומות.

פתרון (אופיר שפיגלמן,נעם ליפשיץ)

תשנ"א, מועד ב', שאלה 4 (טייכר) - עמנואל סגל

מצא צורת ג'ורדן ל- $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

פתרון (עמנואל סגל)

תשנ"ט, מועד א', שאלה 5 (עדין) - עמנואל סגל

יהי $T$ אופרטור לינארי שהפ"א שלו הוא $p_A(x)=x^{3}(x-1)^{3}(x-2)$.

א. מצא את מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור $T$.

ב. אם ידוע גם שהפולינום המינימלי של $T$ הוא $m_A(x)=x(x-1)^{2}(x-2)$, מהו מספר צורות ג'ורדן האפשריות עבור $T$?

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ב, מועד ב', שאלת רב-ברירה מספר 2 (צבאן) - עמנואל סגל

תהי $A\in\mathbb{C}^{8\times 8}$ שהפ"א שלה הוא $(t-1)^{4}(t-2)^{4}$ והפ"מ שלה הוא $(t-1)^{2}(t-2)$. נתון שהר"ג של הע"ע 1 הוא 2. מצא את צורת ג'ורדן של A.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ב, מועד א', שאלה 6 (צבאן) - עמנואל סגל

נתבונן במטריצה $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0&1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

מצא את צורת ג'ורדן של המטריצה A.

פתרון (עמנואל סגל)

תשנ"ט, מבחן לדוגמא, שאלה 8 (עדין) - נפתלי וקסמן

יהי $T$ אופרטור לינארי עם פולינום אופייני $f_{T}(x)=x^{2}(x+1)^{4}(x-2)$

מצא את מס' צורות הג'ורדן האפשריות עבור $T$.

אם נתון כי $m_{T}(x)=x(x+1)^{2}(x-2)$ אז מצא את מס' הצורות האפשריות.

פתרון (נפתלי וקסמן)

תש"ע, מועד ב', שאלה 1 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן, נעם ליפשיץ

הוכח כי המטריצות הממשיות הבאות דומות: $A=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &1 &1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 3 &0 & 0\\ 0 & 0 &0 \\ 0&0 & 0 \end{pmatrix}$

פתרון (נפתלי)

פתרון יותר יפה פתרון (נעם)

תשע"א, מועד ב', שאלה 3 (צבאן+קוניאבסקי) - נפתלי וקסמן

תהי $A=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 & 1\\ 1& 0 &0 &-2 \\ 0& 1 & 2 &0 \end{pmatrix}$ קבע האם קיימת לA צורת ג'ורדן, ואם כן מצא אותה ואת המטריצה המג'רדנת.

א. מעל $\mathbb{R}$ ב. מעל $\mathbb{C}$

פתרון (נפתלי וקסמן)

השלם את ההוכחה

האוניברסיטה העברית

תשס"ג, מועד ב', שאלה 3 רב-ברירה (לובוצקי, דה-שליט) - אלעד איטח

תהי $A=\begin{pmatrix} 3 &1 &0 \\ 0 &2 &0 \\ 0 &0 &2 \end{pmatrix}$ אזי:

א. A מטריצה בצורת ז'ורדן.

ב. A לכסינה.

ג. הפולינום האופייני והמינימלי של A שווים.

ד. 3 איננו שורש של הפולינום המינימלי של A.

פתרון 8 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_2_1.pdf

תשס"ב, מועד א', שאלה 4(דה-שליט,שלום,שלו) - אלעד איטח

תהי $T:\mathbb{C}^{4}\rightarrow \mathbb{C}^{4}$ מיוצגת בבסיס הסטנדרטי ע"י: $A=\begin{pmatrix} 4 &1 &0 &0 \\ 0 &4 &0 &0 \\ 0 &0 &4 &0 \\ 0 &0 &0 &1 \end{pmatrix}$

א. מהם הע"ע של T?

ב. מהם מימדי המרחבים העצמיים המתאימים?

פתרון 7 (אלעד איטח)

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_1_1.pdf

עמנואל: מצאתי טעות - מימד המרחב של 4 הוא 3 ולא 2 (מכיוון שלא הגיוני שנתקן בדף התוכן, לא ברור איפה צריך לרשום את התיקונים - פה, או בדף השיחה של הפתרון? מתקנים בדף התוכן וחותמים את השם שלך) אבל הוא צודק

תשס"ג, מועד א', שאלה 5 בשאלות הרב-ברירה (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח

תהי $T$ ט"ל נילפוטנטית במרחב 4 מימדי. $Ker(T^{2})\neq Ker(T^{3})$ מי מהטענות הבאות נכונה?

1. $T^{3}=0$

2. בצורת ג'ורדן של T יש רק בלוק אחד.

3. בצורת ג'ורדן של T יש בלוק מסדר>=3.

4.$T^{3}\neq 0$

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

פתרון 3 (אלעד איטח)

תשס"ג, מועד א', שאלה 5 (דה-שליט+לובוצקי) - אלעד איטח

מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה הממשית $A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 0 & 5 & -2\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2003_2_1_1.pdf

פתרון 2(אלעד איטח)

תשס"ב, מועד ב', שאלה 4 (דה-שליט+ענר) -אלעד איטח

מצא את צורת הג'ורדן של המטריצה $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$ מעל שדה המרוכבים

קישור למקור: http://u.cs.biu.ac.il/~tsaban/LinearAlgebra/Exams/HU_LA2/80135_2002_2_2_1.pdf

פתרון (אלעד איטח)

תשס"ט, מועד ב', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן

נתונות המטריצות

$A=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right), B=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right)$

האם הן דומות? הוכח את טענתך.

פתרון (נפתלי וקסמן)

תפרט את החישובים

תשס"ט, מועד א', שאלה 4 (ורשבסקי+רומיק) - אוהד קליין

נתונה המטר': $A=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 3 & 0\\ 4 & 5 & 6 & 3 \end{pmatrix}$

א) מצא את צורת ג'ורדן של A

ב) מצא P הפיכה כך ש $P^{-1}AP$ היא צורת זורדן של A.

מקור: [1]

פתרון (אוהד קליין)

תשס"ה, מועד ב', שאלה 11 (מוזס+סלע) - אופיר שפיגלמן

שאלה: תהי $A\in \mathbb{C}^{n \times n}$. הוכיחו כי $A\sim A^{t}$.

פתרון (אופיר שפיגלמן)

תשס"ד, מועד ב, שאלה 11 (איזנברג+סלע) - אוהד קליין

השאלה:

תהי $A \in M_n(C)$ המטר' הבאה: $A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 & 1\\ 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . מצא את צורת הג'ורדן שלה.

מקור: [2]

פתרון (אוהד קליין)

תשס"ה, מועד ב', שאלה 10 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל

מצא צורת ג'ורדן ל-$A=\begin{pmatrix} 2&1 & 0 & 0\\ 0& 2 & 1 &0 \\ 0 & 0& 2 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\in\mathbb{C}^{4x4}$

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ח, מועד ב', שאלה 5 (ענר+ברגר) - נפתלי,עמנואל,בועז

אלו מבין המטריצות הבאות דומות?

$A=\begin{pmatrix} 2 &8 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 2 &0 \\ 2 &2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 2 &4 \\ 4 &2 \end{pmatrix}, D=\begin{pmatrix} 6 &0 \\ 0 &-2 \end{pmatrix}$

פתרון (נפתלי,עמנואל,בועז)

תשס"ט, מועד א', שאלה 10 (ורשבסקי+רומיק) - נפתלי וקסמן

כל שתי מטריצות $A,B\epsilon M_{n}C$ שמקיימות

$f_{A}(t)=f_{B}(t)=(t-1)^{3}(t-2)^{2}(t-3)$

$m_{A}(t)=m_{B}(t)=(t-1)^{2}(t-2)(t-3)$

הן דומות

תיקון(עמנואל): המשפט שבסוף הפתרון שגוי. ניתן לבנות דוגמאות נגדיות מסדר 7.

נפתלי: טוב מה אכפת לי? פרטתי הכל נכון?

פתרון (נפתלי וקסמן)

תשס"ו, מועד ב', שאלה 5 (ברגר+פרידגוט) - נפתלי וקסמן

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 1 &2 & 0 &0 \\ 0 &0 &1 &0 \\ 0 &0 &0 & 1 \end{pmatrix}$

מצאו את הפולינום האופייני והמינימלי של A. אם A לכסינה לכסנו אותה, ואם לא הוכיחו שאינה לכסינה.

פתרון (נפתלי וקסמן)

עמנואל: אני לא אובייקטיבי, אבל החלק של ג'ורדן מיותר -- ידוע שאם הפ"מ מתפרק לגורמים לינארים זרים שמעלת כל אחד מהם היא 1 אז A לכסינה. חשוב יותר -- בכלל לא ביקשו להוכיח שהיא לכסינה (אלא להוכיח שהיא לא, אם הדבר אפשרי), ולכן הפתרון שגוי. תיקנתי ושמתי את התיקון בדף השיחה של הפתרון.

נפתלי - לכסנתי את המטריצה. מה אתה רוצה?!

ידוע, שכשה"חוזה" אינו מפורט מספיק, ויש בעיה עם חלק שאינו מפורט מספיק, הולכים לטובת הצד שחתם (ולא כתב) את החוזה. מכיוון שהפירוט היחיד הינו "שאלות בנושא ג'ורדן", צריך להקל עבור נפתלי, ולהחשיב את תשובתו!

תשס"ה, מועד א', שאלה 10 (מוזס+סלע) - נפתלי וקסמן

מצאו את צורת הג'ורדן של המטריצה $A=\begin{pmatrix} 1 &0 & 0 &0 \\ 4 & 2 &0 & 0\\ 7 & 5 & 3 & 0\\ 9 &8 & 6 & 2 \end{pmatrix}$

פתרון (נפתלי וקסמן)

תשס"ז, מועד ב', שאלה 4 (לובוצקי+ברגר) - עמנואל סגל

האם $\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 0 & 4 &5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 6 &5 &3 \\ 0 & 4 &2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ דומות מעל $\mathbb{Z}_{11}$ ?

פתרון (עמנואל סגל)

זה ליכסון רגיל השימוש בצורת ג'ורדן מיותר

תשס"א, מועד ב', שאלה 7 (לובוצקי+ריפס+שלום) & תשס"ט, מועד א', שאלה 8 (ורשבסקי+רומיק) - עמנואל סגל

תהיינה $A,B\in M_n(F)$, ונניח של-$A$ יש $n$ ע"ע שונים ב-$F$. הוכח/הפרך: אם ל$A,B$ אותו פ"א אז הן דומות.

פתרון (עמנואל סגל)

לא צריך את משפט ג'ורדן בשביל להוכיח את זה וזה הוכחה מעגלית

תשס"ב, מועד ב', שאלה 3 (לובוצקי+ריפס+שלום) - עמנואל סגל

תהיינה $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 0 & 0 & 0&1 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix} 0 & 1 &0 & 0\\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 & 0&0 \\ 0& 0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}$

ענו נכון/לא נכון:

א)$A$ דומה ל $B$

ב)$dimkerA=dimkerB$.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ג, מועד ב', שאלה 1 בחלק III (לובוצקי+דה-שליט) - עמנואל סגל

מצא את המספר המקסימלי של מטריצות נילפוטנטיות מסדר 3 שאף שתיים מהן אינן דומות.

(הערה: לדעתי יש אי-דיוק קל בניסוח השאלה, כי יש לומר שהשתיים אינן זהות, אבל זה חסר חשיבות.)

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ד, מועד א', שאלה 11 (סלע+איזנברג) - עמנואל סגל

מצא את צורת ז'ורדן של $\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 &0 \\ 1& 4 & 0 & 0\\ 2& 3& 3 &0 \\ 4 & 5 &6 & 3 \end{pmatrix}$.

פתרון (עמנואל סגל)

תשס"ה, מועד א', שאלה 9 (מוזס+סלע) - עמנואל סגל

תהי $A \in \mathbb{C} ^{n \times n}$.

הוכיחו כי צורת ז'ורדן של $A$ היא יחידה כדי שינוי סדר הבלוקים.

פתרון (עמנואל סגל)

אוניברסיטת מדינת קנט (ארה"ב)

בסעיף זה יובאו פתרונות של שאלות מתוך בחינות הסיום באלגברה של אוניברסיטת קנט

יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 22 (וייט) - נטע צדוק

תהי מטריצה $A$ בעלת הפולינום האופייני: $P_A(x)=(x-3)^5$ והפולינום המינימלי: $M_A(x)=(x-3)^3$.

א. מנה את כל צורות הג'ורדן האפשריות למטריצה זו.

ב. קבע מהי צורת הג'ורדן של המטריצה:

$A = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & -2 & 0\\ 1 & 0& 3& -1& 0\\ 0 & -1& 2& 3& 0\\ 0 & 2& -3& 0& 3 \end{bmatrix}$

לה אותו פולינום אופייני ואותו פולינום מינימלי המוזכרים בסעיף א'.

פתרון (נטע צדוק)

יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 21 (וייט) - נטע צדוק

מצא את כל צורות ז'ורדן האפשריות לסעיפים הבאים. הסבר את תשובתיך!

א. אופרטור לינארי $T$ שהפולינום האופייני שלו הוא: $P_T(x)=(x-2)^4(x-3)^2$ והפולינום המינימלי שלו הוא: $M_T(x)=(x-2)^2(x-3)^2$

ב. אופרטור לינארי $T$ שהפולינום האופייני שלו הוא: $P_T(x)=(x-4)^5$ ונתון גם ש: $dim(ker(T-4I))=3$

פתרון (נטע צדוק)

יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 4 (וייט) - נעם ליפשיץ

הראה שלכל מטריצה הפיכה A יש שורש ריבועי כלומר מטריצה B כך ש $B^{2}=A$ (פתרון: נעם ליפשיץ)

יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 13 (וייט) - נעם ליפשיץ

נניח A וB מטריצות מרוכבות ונניח שיש להם אותם וקטורים עצמיים.

הראה שאם הפולינום המינימלי של A הוא $(x+1)^{2}$ והפולינום האופייני של B הוא $x^{5}$

אז $B^{3}=0$

פתרון (נעם ליפשיץ)

יוני 2010, אוניברסיטת קנט, שאלה 25 (וייט) - נוי מאור

תהיינה

A=$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

B=$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

C=$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 3 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

א. מצא את הפולינום האופייני של המטריצות

ב. מצא את הפולינום המינימלי של המטריצות

ג. מצא את הערכים העצמיים של המטריצות

ד. מצא את המימדים של כל המרחבים העצמיים של המטריצות

ה. מצא את צורת הז'ורדן של המטריצות

פתרון (נוי מאור)