מבחן השורש של קושי
מתוך Math-Wiki
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, .
- לכן
- לכן
- לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי .
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה,
- לכן
- אבל הוא טור הנדסי מתכנס
- לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.