פתרון אינפי 1, תש"נ
מתוך Math-Wiki
(המבחן )
שאלה 1
(טענה 7.8 אצל ד"ר שיין:) תהי פונקצ' המוגדרת בסביבת . נניח כי גזירה ב- וגם וגם קיימת הפונקצייה ההפוכה ורציפה בנקודה . אזי גזירה ב-, ונגזרתה שם שווה ל- .
הוכחה: לפי ההנחה, f גזירה ב- ולכן עפ"י ההגדרה מתקיים .
לפי כללי האריתמטיקה (חשבון) של גבולות, מתקיים: .
לפי ההנחות רציפה ב. לכן , ובאותו האופן , ולכן בסך הכל קיבלנו ש-
זה נותן את הנדרש עפ"י הגדרת הנגזרת.
שאלה 2
נגדיר פונ' על ידי . h רציפה בקטע הנ"ל כמכפלת 2 פונ' רציפות. ואילו ולכן לפי משפט ערך הביניים .
בנקודה זו מתקיים הדרוש - .
שאלה 3
א) משפט טיילור - תהי פונקצייה מוגדרת וגזירה פעמים בסביבה של . אז , כאשר .
ב)תהי . אנחנו יודעים שפיתוח טיילור של פולינום עבור סדר גדול מדרגתו או שווה לו יהיה שווה לפולינום עצמו, ולכן התרגיל די מיותר, אבל נפתור בכל זאת:
נחשב נגזרות -