אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת שאלה ==

לכתוב מתחתיה את השאלה שלכם, וללחוץ על 'שמירה'.

(אין צורך להרשם לאתר. רק לעקוב אחרי ההוראות הפשוטות...)

שאלות

תרגיל 2 א בתרגיל 1

ארז, האי שוויון לא נכון. צריך להפוך אותו לאי שוויון "חלש", או להפוך את הקטע מסגור לפתוח.

תשובה

נכון, זה צריך להיות הקטע הפתוח. רעיון התרגיל כמובן הוא אותו דבר...

האם מותר להשתמש בזה שאם הנגזרת חיובית אז הפונקציה עולה?

זו לא הכוונה.. תשתמשו במה שלמדנו בשיעור.

שאלה

למתי הקב' של תומר יניב צריכה להגיש את התרגיל? יהיה לנו את התרגול רק ביום שלישי....

תשובה - תומר : התרגילים לשני המרצים יהיו זהים וגם הקבוצה של יום שלישי תהנה מאותו פרק זמן של שבוע להגשת התרגיל :)

שאלה

בתרגיל 1ג זה לא בהכרח נכון אם 0=(0)f... לדוג' הפונ Y=0 הנגזרת שלה זה y'=0 ולא מוגדרת חלוקה...

תשובה

נכון. תוסיפו את הנתון $\forall x \in (0,1) : f(x)\neq 0$.

שאלה - 1/א'

'הוכח שלכל פולינום ממעלה n יש לכל היותר n שורשים שונים' : אפשר כיוון להוכחה? מפני שאפשר להניח שיש פולינום עם יותר מ-n שורשים שונים, ואז יש לו הצגה מהצורה:$(x-x_1)^{r_1}...(x-x_{n+1})^{r_{n+1}}$, וכשפותחים את הסוגריים מקבלים פולינום ממעלה n+1...

תחשוב על משפט רול.

שאלה

בשאלה 3e (בתרגילי לופיטל), האם יש צורך להשתמש בזהויות טריגונומטריות "לא שכיחות" כלשהן? כי הדרכים הסטנדרטיות נראות לא מועילות במיוחד - כבר גזרתי לבצעתי את כלל לופיטל 3 פעמים, והגעתי לביטוי שכבר אי אפשר לפשט (כשלא צמצמתי), וכאשר כן צמצמתי הגעתי לביטוי שאי אפשר להמשיך איתו (המונה שואף לגבול שאינו אפס, המכנה שואף לאפס).

תשובה

אין צורך להשתמש בדברים לא שכיחים. ולא ראיתי שיש שם כותרת "תרגילי לופיטל".

שאלה

יש לי פונקצייה ששואפת ל-0 בערך כלשהו, ופונקצייה שחסומה. האם אני יכול להגיד שגם מכפלת הפונקציות הללו שואפת ל-0 באותו ערך?

תשובה

כן. מכיוון שהתכונה הזו קיימת עבור סדרות, בעזרת הגדרה הגבול לפי היינה קל להוכיח אותה עבור פונקציות.

שאלה

נניח שיש לי פונקצייה, ואני מפשט אותה בדרכים שונות מבלי באמת 'לשנות' אותה (צמצום, שימוש בזהויות טריג', וכ'ו), כאשר תחום ההגדרה משתנה, ובנק' a יש גבול ימני אבל מצד שמאל ל-a היא לא מוגדרת. האם מותר לי לומר שגם בפונקצייה המקורית, אם כך, אין גבול ב-a?

תשובה

תאלץ להיות יותר ספציפי. אבל אם שינית את תחום ההגדרה ואין יותר גבול מצד אחד בעקבות זה, למה שלא יהיה גבול במקור?

לדוגמא, אם תיקח e בחזקת ln של פונקציה, אוטומטית כל פעם שהפונקציה f שלילית הפונקציה החדשה לא מוגדרת. זה אומר שבהכרח אין לf גבול בנקודות בהן היא שלילית?

צודק. פשוט הגעתי לפונקצייה: $\sqrt{(sin(x))(1+cos(x))}$, שאין לה גבול שמאלי ב-0, ובתרגיל המקורי היה עליי למצוא את הגבול ב-0 (אם קיים).

לא בטוח איך הגעת לזה, אבל הוצאת שורש שקולה להפעלת ln ויוצרת את אותה בעייה שתיארתי למעלה. יכול להיות שיש לך טעות חישוב פשוט?

כן, יש לי טעות חישוב, תודה :) . אבל רגע - אחרי פישוט קבלתי: $\sqrt{1+cos(x)}$, כאשר יש גבול בנק', אבל כשבדקתי בתוכנה אם יש גבול בנק' ראיתי שיש גבולות שמאלי וימני ששונים זה מזה. זה ממש מוזר...

טעות חישוב נוספת, ואני אודה אם לא תירשום אותה פה אחרי שתגלה אותה כי זה כבר ממש יתן את התשובה...

איפה טעות החישוב? בפישוט הביטוי, או בחישוב הגבולות החד צדדיים?

תחשוב לבד, תציב קצת עם מחשבון

תרגיל 1 סעיף ב'

יש אפשרות לרמז כלשהו?

תשובה

באיזה משפט השתמשת בשני הסעיפים האחרים באותה שאלה?