הומומורפיזם של חבורות
הומומורפיזם של חבורות הוא פונקציה מחבורה אחת לשניה, השומרת על הפעולה.
ניסוח פורמלי. תהיינה G,H חבורות. הומומורפיזם מ-G ל-H הוא פונקציה , המקיימת לכל . בשוויון זה, הפעולה משמאל היא הפעולה של G, ואילו הפעולה מימין היא פעולת H.
להומומורפיזמים המקיימים תכונות נוספות יש שמות מיוחדים: הומומורפיזם חד-חד-ערכי הוא מונומורפיזם; הומומורפיזם על הוא אפימורפיזם; הומומורפיזם שהוא גם חד-חד-ערכי וגם על הוא איזומורפיזם. הומומורפיזם מחבורה לעצמה נקרא אנדומורפיזם, ואיזומורפיזם מחבורה לעצמה נקרא אוטומורפיזם.
תוכן עניינים
התמונה והגרעין
לכל הומומורפיזם אפשר להגדיר תמונה וגרעין. התמונה היא תת-חבורה של הטווח H. הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של המקור G.
- משפט האיזומורפיזם הראשון מתרגם הומומורפיזמים לאיזומורפיזמים: לכל הומומורפיזם , חבורת המנה איזומורפית לתמונה של f.
דגשים
1. כאמור לעיל, התמונה של הומומורפיזם מ-G ל-H היא תת-חבורה של H. לתמונה, ככלל, אין תכונות נוספות. כלומר, בהנתן חבורה H ותת-חבורה שלה H_0, תמיד קיים הומומורפיזם מחבורה כלשהי אל H, שתמונתו היא בדיוק H_0.
2. הגרעין של הומומורפיזם מחבורה G לחבורה כלשהי, הוא תת-חבורה נורמלית של G. גם כאן, לכל חבורה G ותת-חבורה נורמלית שלה, G_0, יש הומומורפיזם מ-G לחבורה מתאימה, שגרעינו שווה בדיוק ל-G_0.
3. האמור לעיל ב-1 ו-2 מותנה בכך שהחבורה "השניה" ניתנת לבחירה חופשית. למשל, אין זה נכון שלכל תת-חבורה H_0 של חבורה H קיים הומומורפיזם *מ-H* ל-H שתמונתו H_0; ואין זה נכון שלכל תת-חבורה נורמלית G_0 של חבורה G קיים הומומורפיזם מ-G *ל-G* שגרעינו G_0.
תאור הומומורפיזמים
אם שני הומומורפיזמים מחבורה G (לחבורה כלשהי) מסכימים על קבוצת יוצרים, אז הם שווים. מכאן שכדי לתאר הומומורפיזם, די לקבוע לאן הוא שולח קבוצת יוצרים S של החבורה. הסיבה היא שכל איבר בחבורה אפשר להציג כמכפלה של אברי S, ואם אז לכל הומומורפיזם מ-G, ולכן אפשר לחשב את מידיעת .
דגשים
בתאור הומומורפיזם, די לתאר אותו על קבוצת יוצרים כלשהי. לחבורה יכולות להיות קבוצות יוצרים רבות: אין שום צורך להגדיר את ההומומורפיזם על כולן.
תהי קבוצת יוצרים של חבורה G, ותהי H חבורה כלשהי. כל הומומורפיזם נקבע על-ידי התמונות . מאידך, לא כל בחירה של התמונות מגדירה הומומורפיזם! לתאור מלא של התופעה ראו יוצרים ויחסים.
תרגיל (89214 תשע"ב מועד א'). כמה הומומורפיזמים יש מהחבורה הציקלית לחבורה הסימטרית ?
פתרון. הומומורפיזם f כזה נקבע על-ידי תמונת האיבר 1, אבל התמונה מקיימת , ולכן היא מסדר המחלק את 12. בחבורה יש רק מחלקת צמידות אחת שהסדר של אברים בה אינו מחלק את 12, ובה 24 אברים; לכן מספר ההומומורפיזמים הוא 120-24=96.