משפט הדרגה
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־14:09, 2 בספטמבר 2018 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
חזרה למשפטים בלינארית
תוכן עניינים
משפט הדרגה
יהיו מ"ו נוצרים סופית, ותהי העתקה לינארית . אזי מתקיים:
הוכחה
נסמן את הבסיס לגרעין ב־ .
נשלים את הבסיס הזה לבסיס ל־ , נסמנו .
נוכיח כי בסיס לתמונה, ומכאן נסיק בקלות את המשפט.
E פורש את ImT
כיוון שכל וקטור ב־ הנו צירוף לינארי של אברי הבסיס, שולחת כל וקטור לצירוף לינארי של תמונות אברי הבסיס.
לכן, באופן כללי, בהנתן בסיס ל־ התמונות של אברי הבסיס פורשות (אך לא בהכרח בסיס) לתמונה של .
כלומר .
ברור כי (הרי בחרנו את להיות בסיס לגרעין).
לכן מתקיים .
E בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס של אברי :
לכן
לכן
ולכן קיים צירוף לינארי של אברי הבסיס לגרעין עבורו
נעביר אגף לקבל צירוף לינארי מתאפס של אברי הבסיס של , ולכן כל המקדמים הם 0.
לכן בת"ל.
ספירת ממדים וסיכום
הוכחנו אפוא, כי הנו בסיס לתמונה, ולכן יש לנו בסיסים וממדים לכל תת־המרחבים המעורבים בעניין.