משפט רול

משפט רול

תהי f רציפה בקטע $[a,b]$ וגזירה בקטע $(a,b)$ כך ש $f(a)=f(b)$.

אזי קיימת נקודה $c\in (a,b)$ עבורה מתקיים $f'(c)=0$

הוכחה

נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית $c\in (a,b)$ ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.

לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום.

נחלק לשני מקרים: נניח המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש$f(a)=f(b)$ אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.

אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח $(a,b)$ ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.

ראו גם

• משפט פרמה
• משפט לגראנז'