88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'
תוכן עניינים
המבחן של פרופ' זלצמן
שאלה 1
הוכח/הפרך: הסדרה מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה
יש-תת סדרה מתכנסת.
הפרכה
כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל )
שאלה 2
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
א
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:
קל לראות ש- ולכן
. לכן
ולכן הטור מתבדר לחלוטין.
ב
נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש-
ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל- ):
זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.
ג
נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל
ולכן הטור מתכנס בהחלט.
שאלה 4
זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.
א
נקודת אי-הרציפות היא . הגבול משמאל הנו
ולכן זה מין שני.
ב
כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת כאשר
חיובי, ו-
כאשר הוא שלילי, ב-
היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן
כאשר
. פרט ל-
, הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).
ב- , אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.
ג
כאשר
נחלק לתחומים. בתחום מתקיים
ולכן
.
בתחום מתקיים
ולכן
.
קל איפוא לראות שבנקודות יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל-
מצד אחד ו-
מצד שני).
שאלה 5
אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?
א
בתחום
.
קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:
אפס כפול חסומה
שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ב
בתחום
.
קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.
ג
בתחום
.
זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: ולכן רציפה במ"ש בתחום.
שאלה 7
חשב את הקירוב הלינארי של ב-
.
הקירוב הלינארי של באזור הנקודה
, הנו
במקרה שלנו
ולכן סה"כ
המבחן של דר' שמחה הורוביץ
שאלה 3
תהי פונקציה רציפה במ"ש בקטע
. נניח שקיים
כך שמתקיים
לכל
. הוכח שהפונקציה
רציפה במ"ש בקטע
.
הוכחה
לפי הנתון, לכל קיים
כך שאם
מתקיים
.
לכן, מתקיים
כפי שרצינו.
שאלה 6
תהי פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש-
וגם
. עוד נניח שלכל
מתקיים
. הוכיחו שלכל
מתקיים
.
הוכחה
מכיון שהפונקציה ו- 4 נגזרותיה מתאפסות באפס, פולינום טיילור מסדר בסביבת הנקודה
שווה זהותית ל-
. השארית היא מהצורה
כאשר
.
מכיון ש- והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של
בה
. לכן בסביבה ימנית של
מתקיים
.
נותר להוכיח ש- עבור
גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה ש-
אזי לפי משפט ערך הביניים
עבור איזה
. אבל גם
ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ-
בסתירה.