אינטגרל לא מסויים/דוגמאות
תוכן עניינים
1
2
פתרון
השלמה לריבוע והצבה ראשונה:
הדבר הראשון שנעשה הוא התהליך של השלמה לריבוע, שבסופו נקבל כי:
ולכן ההצבה הראשונה שנעשה תהא: , וכמובן קל להבין כי .
פונקציות טריגונומטריות היפרבוליות (הערה):
ניעזר בתכונות של ושל :
וכן בזהות:
הצבה שנייה:
נציב:
ולהחזיר את t לx, אני משאיר לכם (:
3
האינטגרל הבא לקוח מספר התרגילים של בועז צבאן (1.24, אם אינני טועה)
פתרון
- יש טעות בהצבה של , שכן
- אבל צריך לקחת בחשבון גם את הdt
- צודק. נראה לי שאם אני לא ראיתי את זה, גם אחרים לא יראו ;)
- אבל צריך לקחת בחשבון גם את הdt
4
בדומה לאינטגרל הקודם, לקוח מבועז צבאן (1.27)
דרך א'
א. ניתן להשתמש בהצבת אוילר, אבל אנחנו ננקוט בטקטיקה שונה.
הצבה ראשונה:
הצבה שנייה:
ואם נחזור לחישוב האינטגרל,
ומכאן מעבירים את t לx.
דרך ב'
ההצבה הראשונה נשארת כפי שהייתה, אך הפעם לא נעשה הצבה שניה אלא נשתמש באינטגרציה בחלקים:
כעת נוכל להבחין כי מתקיים:
כעת נביט רק על האינטגרל הראשון ונציב:
אם נחזור לאינטגרל המקורי נקבל:
וסיימנו (:
5
אינטגרל חביב שנלקח ממבחן בחדו"א בב"ג (של מדעי המחשב)
כאשר .
פתרון
הכוונה היא עבור n>1, עבור n=1 תסתכלו בדוגמא הראשונה.
6
פתרון
ניעזר באינטגרציה בחלקים.
פתאום זה נראה יותר אנושי, כעת נסתכל על האינטגרל שנותר:
כל שנותר הוא לאחד את התוצאות, ולקבל את התוצאה הסופית.
7
פתרון
נעשה את ההצבה הבאה:
תחזירו לx לבד, בכל מקרה אני עצלן ואף אחד לא יקרא את זה!
8
אחד קליל מהחוברת של בועז (:,
פתרון
9
פתרון
ראשית נפעיל אינטגרציה בחלקים כאשר:
כעת נחשב את האינטגרל השני שקיבלנו:
וכעת ניעזר בהצבה האוניברסלית כדי למצוא את האינטגרל החדש:
כרגיל להחזיר ולהנות (:
10
הצבה
11
הצבה היפרבולית .
12
פתרון
פתרון (יותר מוצלח כמסתבר)
להציב
13
פתרון (לא מלא)
זה לקח לי שני עמודים בכתב יד, זה נורא (אני בטוח שיש פתרון יותר חכם)
הצבה 1:
הצבה 2:
אח"כ צריך לשחק עם מה שמקבלים (לפי תכונות של קוסינוס וסינוס היפרבולי), ואז להעביר את זה לייצוג המקורי.
ואז, הצבה 3:
14