אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

שאלות

תומר - לפני הבוחן , אתן לכם מעט מידע שניתן לחשוף : החומר לבוחן הוא כאמור כל החומר מתחילת הסמסטר , עד ולא כולל , אינטגרלים לא אמיתיים . אין צורך בנוסחאות - הכל תקבלו בכתב , ולא מותר שום חומר עזר ! יש בחירה שנראית לנו הוגנת ומי שלמד כמו שצריך עד עכשיו רק ייצא נשכר .מי שנזכר רק עכשיו - לא צריך להילחץ , יש עוד זמן וזו תהיה נקודת זמן לקחת תצמו בידיים ! - ורק תזכרו - מדובר רק בבוחן ! יש עוד דרך ארוכה עד סוף הסמסטר והמבחן הסופי . שיהיה בהצלחה לכולם !

שאלה - פונקציות טריגונומטריות ממעלה גבוהה

נניח שאני רוצה לחשב את האינטגרל של סינוס בחמישית של x. האם "חוקי", בהנחה שהצבתי $sin(x)=t$, להסיק ש: $cos(x)=\sqrt{1-t^2}$ להמשך ההצבה? אם לא, באילו דרכים נוספות (מלבד ההצבה האוניברסאלית שלא נראית יעילה במיוחד והנוסחא לחישוב סינוס ממעלה גבוהה) ניתן לחשב את האינטגרל?

הערה : שמתי לב שמאחר וחזקת הסינוס היא אי-זוגית, נוח יותר להציב t=cosx. אני ממשיך לשאול את אותה שאלה באופן כללי.

תשובה

מוצאים את פיתרון האינטגרל על ידי הנוסחא הרקורסיבית: [[1]]

אם אתה צריך לחשב את האינטגרל של cos(x( ממעלה מסויימת אתה יכול להמיר אותו לאינטגרלים של sin(x) או שאתה יכול להשתמש בנוסחא: [[2]]

שאלה בקשר לבוחן

מה יהיו הנושאים בבוחן? איזה סוג של שאלות הוא יכלול? עברתי על כל התרגילים שנתנו עד כה (1-8), החל ממשפטי לגראנז' והערך הממוצע, דרך כלל לופיטל, חקירת פונקציות, טורי טיילור, עד לאינטגרלים הלא מסויימים, הצבות שונות, ולבסוף את כל הנושא של האינטגרביליות ועד לחישובים השונים של אינטגרלים מסויימים. אני די מתוסכל כי זה המון חומר ואשמח אם תוכלו לספק מידע, אפילו מועט, בנוגע לסוג השאלות שיופיעו בבוחן : האם תהיה בחירה? האם יהיו שאלות מסוג אמריקאי / נכון לא נכון? הוכח או הפרך? האם נצטרך לחקור פונקציות? תודה!

תשובה

ציינת יפה את רשימת החומר לבוחן.

יהיו שאלות הוכחה כלומר שאלות תאורטיות, ויהיו שאלות קצרות יותר בסגנון של הוכח הפרך (עם תשובה קצרה). צריך לדעת חקירת פונקציות, אבל לא נתן לכם לחקור פונקציה מלאה.

ותהרגו אותי אם אני מבין איך עוזר לכם לדעת אם תהיה בחירה או לא. אם המטרה היא לדלג על חומר מסוים מתוך ההנחה שתוכל לבחור לא לענות על שאלות בנושא, אני ממליץ לא לעשות את זה (כנראה שלא תהיה בחירה, וגם אם כן לא נאפשר לבחור בין נושאים שונים)

הסיבה היא בעיקר להרגיע אותנו - יהיה לך קשה למצוא סטודנטים רציניים שלא לחוצים מהבוחן הקרוב. אח"כ, המטרה שלשמה שאלתי את השאלה היא כדי לנסות ולמקד את תהליך הלמידה - בבחנים משנים קודמות קשה מאוד למצוא שאלות 'תאורטיות' או שאלות מסוג 'הוכח או הפרך', כך שמלבד חישוב אינטגרלים, חקירת פונקציות וחזרה עמוקה על החומר והתרגילים אין יותר מדי דרכים להתכונן לבוחן...

אם תדע לפתור תרגילים כמו בתרגילי הבית מצבך יהיה טוב.

שאלה

בתרגיל 8 שאלה 2, האם מותר להשתמש במשפט הערך הממוצע, ואז להראות שזה פשוט לא יכול להיות a או b?

תשובה

לא כי זה פשוט לא נכון. קח את הפונקציה הקבועה. קח פונקציה אחרת שבמקרה מקבלת את הממוצע בקצוות...

(מישהו אחר) אני השתמשתי במשפט הערך הממוצע, ואז אמרתי שאם הנקודה מתקבלת בקצוות אז יש עוד נקודה, באמצע, בעלת אותו ערך...

איך זה נובע מכך שזה הערך באחד הקצוות, שזה גם הערך בנקודה באמצע?

הוכחתי את זה... בגדול הרעיון הוא שאם כל הנקודות באמצע היו מעל/מתחת לערך המבוקש אז מגיעים לסתירה, ומכאן ממשיכים עם ערך הביניים

שאלונת

האם אינטגרביליות של פונקציה בקטע [a,b] גוררת קיום של פונקציה קדומה בקטע זה? (ברור לי שההפך לא נכון, אבל בקשר לכיוון הזה אני לא בטוחה..)

תשובה

בוודאי שלא, כי יכול להיות שהאינטגרבילית מכילה אי רציפות סליקה או ממין ראשון ולכן אין לה קדומה. למשל פונקציה קבועה עם קפיצה בנקודה אחת, אין לה קדומה.

שאלה

ראיתי שבפתרון לתרגיל 6 שאלה 2 התשובה מבוססת על סכום דרבו עליון. האם זה בסדר שההוכחה שלי מבוססת על הטענה שאי-שוויון ברמת הפונקציות גורר אי-שוויון ברמת האינטגרל, (כמובן תוך שימוש באותה הנחה בפתרון שנתתם, ובכך שהיא מובילה לקיומה של סביבה בה הפונקצייה חיובית), כך שפרקתי את האינטגרל ל-3 אינטגרלים (שניים מחוץ לסביבה החדשה שבה הפונקצייה חיובית, ואחד בתוכה), ואם האינטגרל המקורי שווה לאפס, ושני האינטגרלים מחות לסביבה אי-שליליים, והאינטגרל בסביבה חיובי ממש, אז קבלנו ש- 0<0.

תשובה

נשמע תקין

שאלה

פונקציה לה יש מס' סופי של נקודות אי רציפות ממין ראשון היא אינטגרבילית. האם זה נכון לכל פונקציה שיש לה מס' סופי של נק' אי רציפות? (למשל סליקה או ממין שני)

== אם f(x)>=m>0 אז ברור שהאינטגרל של f(x) גדול מ0. אבל אם סתם ידוע שf(x)>0 בכל הקטע [a,b] אפשר לומר שהאינטגרל גדול ממש מ0 בקטע הזה?

תשובה

לפי משפט לבג פונקציה שקבוצת נקודות אי הרציפות שלה הן ממידה 0 (כלומר עוצמת א_0 או סופי) הינה אינטגרבילית, ללא קשר לסוג אי הרציפות.

עשינו את זה בכיתה. אם f>0 ואינטגרבילית, לפי לבג יש לה לפחות נקודת רציפות אחת. נניח שבנקודה הזו הערך של הפונקציה הינו m>0. לכן בסביבת דלתא הפונקציה גדולה מm/2 ולכן האינטרגל שם גדול מm/2 כפול דלתא וזה בוודאי גדול ממש מאפס.

אבל.. מספיק שתהיה לי נק' אי רציפות אחת ממין שני כדי שהפונקציה לא תהיה חסומה ולכן לא אינטגרבילית.

משפט לבג אכן מניח שהפונקציה תהיה חסומה. כעת, מי אמר שאי רציפות ממין שני גוררת אי חסימות? בוודאי זה לא נכון.

שאלה על הבוחן

האם יש בבוחן דף נוסחאות של האינטגרלים? תודה

תקרא את מה שתומר רשם למעלה

שאלה נוספת - האם מותר להשתמש במשפטים שהוכחנו בתרגיל? (למשל בתרגיל 7, שאלה 1 a)

אם אתה יודע לצטט נכון את המשפט, וברור שהוא לא עיקר התרגיל אז כן. אפשר גם לצטט דברים שעשינו בכיתה.

שאלה-תרגיל 7 שאלה 1 b

בתשובות כתוב ש-f לא בהכרח רציפה על כל הממשיים, אבל הדוגמה לא טובה. ה-f ששמתם לא רציפה עם מחזור 2 כמו שכתבתם: $-1=f(-1)=/=f(-1+2)=f(1)=1$.

תשובה

צודק, טעות שלי, אני אפרסם תיקון לפתרון. הפונקציה כן רציפה בכל הממשיים כי בנקודות הבעיתיות מהצורה $(2k-1)L$ הגבול מימין שווה לגבול משמאל שווה לערך הפונקציה בנקודה L.

שאלה - תרגיל 6, שאלה 4

מהו n? האם לכל x בוחרים n מתאים? בכל מקרה, איך אפשר בכלל להוכיח שהפונקצייה הזו מונוטונית עולה?

תשובה

לכל n טבעי אם x נמצא בתחום הרשום אזי ערך הפונקציה הוא כפי שרשום. זוהי כמובן פונקצית מדרגות.

תרגיל 8 שאלה 7

בסעיף 7b זו לא טעות? כי הגבול שם הוא שאפסילון שואף לאינסוף, ובתרגיל הם רוצים ל-0+..התשובה נכונה רק הגבול לא..

כן, סתם שגיאת דפוס.

שאלה - אינטגרביליות

תהי f אינטגרבילית בקטע I, ו-g רציפה בקטע I. האם הרכבה של g על f אינטגרבילית?

(לא ארז/תומר). כן.. לדוגמה, פונקצית הערך המוחלט

ברור, פשוט שאלתי את זה כי ראיתי שלפי מה שרוני לימד אותנו בהרצאה g צריכה להיות רציפה על הקטע (חשבתי שיכול להיות שלמילה על יש משמעות במובן של כיסוי)

לא מקשיבים בתרגיל? הרי פתרנו את זה בשיעור. כן ההרכבה אינטגרבילית

תרגיל שלא הבנתי

האם יש קדומה לפונקציה הבאה ב (אינסוף,0]?- כש X גדול מ0 זה אי בחזקת חצי וכש X=0 זה 0

(לא ארז/תומר) לא, כי הפונקציה אינה מקיימת את תכונת ערך הביניים. למשל, בקטע [0,1] מתקיים f(0)=0, f(1)=e^1/2 אבל אין x בקטע עבורו f(x)=1.

תודה=] ואם הפונקציה הייתה רק כש X גדול מ0 זה אי בחזקת חצי, אז כן הייתה קדומה?

שאלה

האם יהיה מותר מחשבון בבוחן? אנחנו מאוד נודה לכם אם כן. לעיתים יש חישובים קטנים שלעיתים נשכחים מהראש שלנו, למשל tan של ביטוי פשוט המכיל פאי וכו'.. בבוחן באינפי 1 למשל היה מחדל בעניין הזה.

יש לי הצעה (במקום מחשבון) - אולי יש אפשרות שאם מישהו במקרה שכח מה זה $arctan(1)$, למשל, אז תהיה אפשרות שהמתרגלים בסביבה יוכלו לעזור לו?

תשובה

תראו, אתם בשלב הזה כבר צריכים לדעת את הדברים האלה לבד. אני לא בטוח אם יהיה מחשבון או לא, נחליט את זה בהמשך, אבל בכל מקרה אתם צריכים בהחלט לדעת לבד מה זה arctang(1). אתם צריכים לדעת מתי הסינוס עולה, מתי הוא יורד, מתי הוא שווה לקוסינוס, מתי הוא שווה 1 מינוס 1 וכו'.

אבל ארז, בשיא הכנות.. בזמן הבוחן אנחנו נורא לחוצים - הרוב המוחלט שלנו. לעיתים אנחנו שוכחים דברים קטנים מסוימים.. בתיכון היינו מורגלים לעבוד עם מחשבון וגם במהלך הסמסטר. זה לא דברים שקשורים לקורסים - אלו סתם דברים חישוביים.. זה נורא יקל עלינו אם תרשו לנו להשתמש במחשבון.. באמת שאני לא מבין איפה הבעיה. (לא מחשבונים משוכללים.. המחשבון הרגיל והפשוט..). מלבד העניין של הסינוסים - גם בפתירת אינטגרלים מסוימים מחשבון עשוי להקל. (בכל מיני חישובים מספריים שהאינטגרל המסוים דורש מאיתנו.. בשלב הסופי)

שאלה - חילוף משתנה לאינטגרל

בעצם נוסחאת חילוף המשתנה באינטגרל מסוים היא בדיוק כמו שיטת ההצבה, רק שצריך להקפיד על כמה תנאים? (גזירות ברציפות של הפונקצייה שמציגה את x לפי t (שנסמנה ב-$x(t)$), חסימות של $x(t)$ בין גבולות האינטגרצייה, ומוגדרות הפונקצייה $x(t)$ ב-a וב-b)

אני אוסיף שאלה נוספת - רק כדי להיות בטוח - באינטגרצייה בחלקים באינטגרל מסוים הדרישה היחידה היא גזירות ברציפות של f,g, נכון?

תשובה

לדעתי חילוף משתנה ושיטת ההצבה אלה שמות שונים של אותה שיטה (אני לא בטוח איך למדתם בהרצאה). התנאים שאמרת מספיקים אך לא הכרחיים. העיקר הוא שהפונקציה $f(g)g'$ תהיה אינטגרבילית (אם מדובר על האינטגרל המסוים).

אם f וg גזירות ברציפות זה תנאי מספיק על מנת לשתמש באינטגרציה בחלקים.

בדף הנוסחאות שיהיה- תוכלו לשים את פולינום טיילור? הוא גם נוסחה.... ואילו עוד נוסחאות יהיו בו? ושל אילו אינטגרלים?תודה..

שאלה

אני לא בטוח לגבי ההבנה שלי במשמעות של נק' קיצון ונק' פיתול, אשמח לבירור. נניח שאני מגדיר F להיות ב0 אפס, ובכל נק' אחרת x^2*sin 1/x. האם יש לF נק' קיצון? ופיתול?

תשובה

תבדוק אל מול ההגדרות:

• האם בסביבה (מנוקבת) של 0 כל הנקודות גבוהות מערך הפונקציה באפס? האם כולן נמוכות ממנו? (קיצון)

• האם הפונקציה גבוה מהמשיק בסביבה בצד אחד, ונמוכה מהמשיק בסביבה בצד השני? (פיתול)

שאלה

צריך לזכור נגזרות של כל מיני פונקציות? כלומר, נגזרת של פולינום ופונקציה רציונלית כמובן שכן, אבל כל הפונקציות הטריגונומטריות וההיפרבוליות וההפוכות שלהן - הנגזרות שלהם נורא דומות ומאוד מבלבלות. עדיין נצטרך לזכור אותן?

מצטרף! אלו פונקציות שלא ראינו בתיכון, ותאמינו לי, שאת כל הנגזרות של הפונקציות הרציונליות אני יודע רק מהתיכון..... והצבות טיילור והצבות שפיתחנו.. (נגיד כשמציבים tg(x/2) אז הגענו למשהו שצריך להציב במקום הsin והcos..) נצטרך לזכור או שזה יהיה בדף נוסחאות?

תשובה

אתם צריכים לזכור (כי אתם תלמידי מתמטיקה ונשמח מאד אם נוסיף לכם ידע מעבר לתיכון). חוצמזה, כנראה שרוב הדברים הרלוונטיים יהיו בדף הנוסחאות. בלי קשר (או עם) חשוב לזכור נוסחאות טריגונומטריות שלא יהיו בדף הנוסחאות.

שאלה

בהצבות מסוג t=g(x) או x=g(t). באינטגרל הלא מסוים כאשר אני רוצה למצוא את הגבולות החדשים. אז בכל אחת מההצבות אני פשוט מחפשת את הt שעבורו t=g(a) וt=g(b) או במקרה השני a=g(t) או b=g(t)? כלומר.. אני תמיד מציבה את הגבולות המקוריים במקום הX ומחפשת את הt כדי להגיע לגבולות החדשים?

תשובה

כן משהו כזה. הגבולות החדשים הינם $g(a), g(b)$ או $g^{-1}(a), g^{-1}(b)$