לכסון מטריצה

הגדרה: תהי A מטריצה ריבועית.

אומרים כי A מטריצה לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית

משפט.

תהי $A\in\mathbb{F}^{n\times n}$ מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב $\mathbb{F}^n$ כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.

הוכחה.

דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות

באמצעות לכסון ניתן למצוא חזקות גבוהות של מטריצות באופן הבא. נניח A מטריצה לכסינה, לכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

$A=PDP^{-1}$

ולכן

$A^k=\Big(PDP^{-1}\Big)^k = PDP^{-1}\cdot PDP^{-1} \cdots PDP^{-1}$

אבל

$P^{-1}\cdot P=I$

לכן סה"כ אנחנו מקבלים

$A^k=PD^kP^{-1}$

כאשר להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה קל מאד.