88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 2

שאלה 1

הוכיחו כי לכל קטע בעל מידה חיובית יש תת קבוצה לא מדידה. (הסתמכו על התרגיל הקודם).

שאלה 2

א. הוכיחו שקבוצת קנטור הטרנארית $C$ (זו מהתרגול) היא קומפקטית.

ב. הוכיחו שהפְּנים של קבוצת קנטור הוא ריק (קבוצות כאלה נקראות "קבוצות דלילות").

ג. הראו שקבוצת קנטור אינה איחוד בן-מנייה של קטעים סגורים (סעיף זה מראה שקבוצה סגורה ב-$\mathbb{R}$ אינה בהכרח איחוד בן מנייה של קטעים סגורים - בניגוד למקרה של קבוצה פתוחה וקטעים פתוחים)

ד. הוכיחו כי $\frac{1}{4} \in C$, למרות שרבע הוא אינו קצה של אף קטע בקבוצות $C_n$ (רמז: נסו לפתח את רבע בבסיס 3).

שאלה 3

תהי $X$ קבוצה כלשהי, ו- $\Sigma \subseteq \mathcal{P}(X)$ אוסף תתי הקבוצות של $X$ שהן בנות מנייה, או שהמשלים שלהן בן מנייה (כלומר $E \in \Sigma$ או"א $E$ בת מנייה, או $X\setminus E$ בת מנייה).

א. הוכיחו כי $\Sigma$ היא $\sigma$-אלגברה מעל $X$.

ב. נגדיר $\mu : \Sigma \rightarrow [0,\infty]$ ע"י $\mu \left( E \right)=\begin{cases} 0&|E| \leq \aleph_0 \\ \infty & \text{otherwise} \end{cases}$. הוכיחו כי זו מידה.

שאלה 4

יהי $(X,\Sigma,\mu)$ ממ"ח.

א. הוכיחו שאם $\left( E_n \right)_{n=1}^\infty$ היא סדרת קבוצות יורדת (כלומר $E_1 \supseteq E_2 \supseteq E_3 \supseteq \dots$), ואם $\mu \left(E_1 \right)<\infty$, אזי $\mu \left( \bigcap_{n=1}^\infty E_n \right)=\lim_{n \rightarrow \infty} \mu \left( E_n \right)$

(הדרכה: נסו לבנות סדרת קבוצות חדשה, כמו שעשיתם בהרצאה)

ב. הראו שהדרישה $\mu \left( E_1 \right)< \infty$ היא הכרחית (כלומר אם נוותר עליה, נוכל למצוא דוגמא נגדית).

בהצלחה!