פולינום מינימלי

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית. אזי הפולינום המינימלי של A, מסומן $m_A(x)$ הוא הפולינום המתוקן מהדרגה הנמוכה ביותר המקיים

$m_A(A)=0$

הערה: פולינום מתוקן הינו פולינום מהצורה $x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$, כלומר המקדם של המונום בעל החזקה הגבוהה ביותר הינו אחד.

תכונות

• לכל פולינום f כך ש $f(A)=0$ מתקיים $m_A(x)|f(x)$. בפרט ממשפט קיילי-המילטון נובע כי הפולינום המינימלי מחלק את הפולינום האופייני

• לפולינום האופייני והפולינום המינימלי בדיוק אותם גורמים אי פריקים. בפרט, השורשים של הפולינום המינימלי הם הערכים העצמיים של המטריצה.
  • מסקנה: על מנת לחשב את הפולינום האופייני, נמצא את הפולינום המכיל את הגורמים האי פריקים של הפולינום האופייני, בחזקות הכי נמוכות, המאפס את המטריצה

תרגילים

א

הוכח כי למטריצות דומות אותו פולינום מינימלי

הוכחה.

ראשית נשים לב לעובדה הבאה- יהי פולינום f ותהיינה מטריצות דומות A,B אזי גם המטריצות $f(A),f(B)$ דומות.

אכן, נסמן $f(x)=a_nx^n+...+a_0$ ונסמן $A=P^{-1}BP$. לכן:

$f(A)=f(P^{-1}BP)=a_n(P^{-1}BP)^n+...+a_0I = a_nP^{-1}B^nP+...+a_0P^{-1}P = P^{-1}f(B)P$

מסקנה: נניח A,B מטריצות דומות, אזי לכל פולינום f מתקיים $f(A)=0$ אם"ם $f(B)=0$.

אכן, המטריצה היחידה הדומה למטריצת האפס הינה מטריצת האפס עצמה. כיוון ש$f(A),f(B)$ דומות, המסקנה נובעת.

בסה"כ, כיוון שהפולינומים המאפסים מטריצות דומות הם אותם פולינומים, בפרט המינימלי המתוקן מבינהם הוא אותו אחד.