88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 3

שאלה 1

יהי $(X,S)$ מרחב מדיד, ותהי $E \subseteq X$. הוכיחו:

$E$ מדידה $\iff$ פונקציית האינדיקטור $I_E:X \rightarrow \mathbb{R}$ היא מדידה.

שאלה 2

בהגדרה של פונקציה מדידה, דרשנו שאחד מהתנאים $(i),(ii),(iii),(iv)$ יתקיים לכל $\alpha \in \mathbb{R}$. הוכיחו שניתן להחליש את הדרישה באופן הבא:

אם $E \subseteq \mathbb{R}$ תת קבוצה צפופה של $\mathbb{R}$, ולכל $\alpha \in E$ אחד מהתנאים $(i),(ii),(iii),(iv)$ מתקיימים, אזי הפונקציה מדידה.

רמז: לכל $\alpha \in \mathbb{R}$ יש סדרת נקודות $\left( \alpha_n \right)_{n=1}^\infty$ ב-$E$ המתכנסת אליה.

שאלה 3

יהיו $(X,S)$ מ"מ, $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ מדידה, ו-$g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ רציפה. הוכיחו כי הרכבת הפונקציות, $g \circ f$ היא פונקציה מדידה.

(הערה: תרגיל זה יכול להסביר למה הפונקציות $\sin(2x),\cos(x)+1$ מהתרגול הן מדידות).

שאלה 4

תהי $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ מדידה בורל. הוכיחו כי הקבוצות הבאות מדידות בורל (העזרו בשאלה הקודמת):

א. $A=\{ x \in \mathbb{R}:f^3(x)<x \}$

ב. $B=\{x \in \mathbb{R}: f^2(x)+e^{f(x)}<f(x)+e^x \}$

שאלה 5

יהי $(X,S)$ מ"מ. הוכיחו ישירות מההגדרה כי אם $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ מדידה ומקיימת $f(x) \neq 0$ לכל $x \in X$, אזי הפונקציה $\frac{1}{f} :X \rightarrow\mathbb{R}$ גם היא מדידה.

בהצלחה!