ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים
חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)
הערה:
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, הוא מרחב וקטורי מעל השדה
, וכן
.
בנוסף,
.
הגדרה:
העתקה לינארית (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.
הגדרה:
תהי . אומרים ש-
הוא ערך עצמי (ע"ע) של
אם קיים וקטור
שעבורו
. הוקטור
נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של
הקשור ל-
.
הגדרה:
אוסף כל הע"ע של נקרא הספקטרום של
, ומסומן
.
הערה:
יכול להיות המצב .
משפט:
הוא ע"ע של
אם ורק אם
אינה הפיכה.
הערה:
אינה הפיכה אם ורק אם
.
משפט:
הוא ע"ע של מטריצה
אם ורק אם
.
דוגמה למציאת ע"ע:
.
שיטה ראשונה:
.
שיטה שנייה: לפי המשפט.
, כלומר
, ומכאן
.
הגדרה:
יהי אופרטור לינארי. אומרים ש-
הוא ע"ע של
אם קיים וקטור
שעבורו
. הוקטור
נקרא ו"ע של
הקשור ל-
.
משפט:
יהי אופרטור לינארי, יהי
בסיס של
ותהי
המטריצה המייצגת של
יחסית לבסיס
. אזי אם
הוא ע"ע של
, אז
הוא גם ע"ע של
.
אלגוריתם לחיפוש ע"ע של אופרטור לינארי :
1. נבחר בסיס של
.
2. נחשב את המטריצה המייצגת .
3. נרכיב את המשוואה . זוהי משוואה ממעלה
עם משתנה יחיד
.
4. נחפש פתרונות , שהם הע"ע של
.