אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1 ו2

ארכיון 2 - תרגיל 3

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - תרגיל 4,5

ארכיון 6 - תרגיל 6

ארכיון 7 - (מי עוקב)

ארכיון 8

ארכיון 9 - לקראת הבוחן

ארכיון 10 - פוסט בוחן

ארכיון 11 - תרגיל 9

ארכיון 12 - תרגיל 9

ארכיון 13 - תרגיל 10

שאלות

תומר - הסמסטר הולך ומסתיים לו . מי שרוצה לקבוע איתי פגישה ("שעת קבלה " ) - מוזמן לעשות זאת ועדיף לא לדחות עד סוף הסמסטר ממש ובסמוך למבחן ! שילחו לי מייל לתיאום : yaniv_to@netvision.net.il

שאלה לכולם

יש איזשהו תרגיל שנאילא מצליחה לפתור- אני ממש אשמח אם מישהו יוכל לעזור לי. השאלה: "נניח ש- $f(x)$ מוגדרת ורציפה בקטע סגור [a,b]. הוכיחו כי הטור $\sum _{n=1}^\infty [f(x)]^n$ מתכנס במ"ש ב- [a,b] אם ורק אם הוא מתכנס נקודתית ב- [a,b]." תודה לכל העוזרים!!!!

תשובה

הרי אנחנו יודעים בדיוק מתי הטור הזה מתכנס נקודתית, מה פונקצית הגבול שלו ומה השארית שלו. מהו תנאי מספיק והכרחי שהטור הזה יתכנס נקודתית בקטע הסגור?

שאלה למתרגלים

מהי רמת הקושי של התרגילים בתרגיל 10? האם הם קלים? קשים? האם ייתכנו תרגילים ברמת קושי כזו במבחן? אני שואל כדי שנוכל להעריך את רמת הידיעות שלנו לקראת המבחן.

תומר - הממ , רמה בינונית ! ולא לשכוח שעדיין לא כוסו בתרגיל זה מבחני דיני , אבל ודיריכלה . בנוסף - יינתן תרגיל נוסף , ללא הגשה אך כן עם חובה לדעת פתרונותיו - עבור מבחנים אלו וטורי חזקות - שזהו חומר חשוב מאוד ורק בגלל אילוצי החגים והבגרויות שלכם לא ייבדקו .

שאלה

האם זה נכון שסדרת פונקציות, $(f_n(x))_{n=1}^{\infty}$, מתכנסת בקטע $[a,\infty]$ במ"ש אם"ם מתקיים:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-f_n(x)) = 0$

כאשר, $f$ זו הפונקציה הגבולית.

פשוט זה יכול לעזור לי בקביעה באם ההתכנסות היא במ"ש...

לא. מה אם חוסר ההתכנסות במ"ש קורה בצד הסופי? $\sum\frac{1}{x^n}$ ועבור x=1 הטור מוגדר להיות אפס.

הבנתי... אבל אפשר להשאיר מהמשפט רק את הכיוון של אם ההתכנסות במ"ש אז... כי אם ההתכנסות במ"ש אזי ש-

$f_n(x)-f(x) \leq \sup_{[a,\infty]}|f_n(x)-f(x)| := A_n$, ולכן,

$\lim_{x \rightarrow \infty}(f_n(x)-f(x)) \leq A_n$, אבל צריך להתקיים, כיוון שההתכנסות במ"ש, ש- $A_n \rightarrow 0$

ולפיכך, נקבל ש- $\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow \infty} (f_n(x)-f(x)) = 0$

האם הטענה הזו נכונה? ואז ניתן לפחות לשלול התכנסות במ"ש אם היא אינה מתקיימת....

מי מבטיח שהגבול באיקס בכלל קיים?

אבל בהנחה שהגבול קיים, נראה לי שאפשר להוכיח גם את הצד השני -

אם נניח ש- $\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow \infty}[f(x)-f_n(x)]=0$,

אזי שקיים $n_0 \in \N$, כך שלכל $n>n_0$ מתקיים כי -

$\lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)-f_n(x)] < \epsilon$, ומכך נוכל למצוא סביבה, $N_{\delta}:=[\delta,\infty]$, כך שבסביבה הזו יתקיים -

$[f(x)-f_n(x)] \leq \epsilon$, וזאת נכון לכל $x \in N_{\delta}$. ולכן, אם בנוסף סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור, מהצורה $[a,b]$, אזי נוכל להסיק שסדרת הפונקציות

מתכנסת במ"ש ב-$[a,\infty]$.

אז האם ניתן, תחת כל ההנחות באמצע, להיעזר ב-"מבחן" הזה.? או שיש לי איזושהי טעות בדרך...?

ו-נ.ב., עדיין לא ממש הבנתי איך טור הפונקציות $u(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x^n}$, המוגדר כך ש- $u(1)=0$, מפריך את הטענה?

הביטוי $\lim_{x \rightarrow \infty} [f(x)-f_n(x)] < \epsilon$ נכון עבור n קבוע, ועבורו יש $N_\delta$ מסוים. אולי ככל שn עולה גם דלתא עולה?

הדוגמא היא נגדית מכיוון שהגבול שאתה מתאר הוא אפס, אבל זה לא טור מתכנס במ"ש (שכן ככל שאתה מתקרב לאחד קצב ההתכנסות נהייה איטי). חשוב להבין שאי התכנסות במ"ש לא חייבת להתרחש באינסוף.

הבנתי, תודה רבה (הייתי צריך את זה...), אבל אם אנו מניחים ש-$(f_n(x))$ מתכנסת במ"ש בכל קטע סופי, מצורת $[a,b]$. וכמו-כן, ש- $(f(x)-f_n(x))_{n=1}^{\infty}$ היא מונוטונית.

אזי שהוא מתכנס במ"ש גם בקטע $[a,\delta]$, ולכן קיים $n_0' \in \N$, כך שלכל $n>n_0'$, וכן לכל $x \in [a,\delta]$ יתקיים כי -

$|f(x)-f_n(x)| \leq \epsilon$

אז נבחר $N=\max{(n_0,n_0')}$, והוא יקיים שלכל $n>N$, ולכל $x \in [a,\infty]$ ש-

$|f(x)-f_n(x)| \leq \epsilon$, אין זה בעצם התכנסות במ"ש? (אחרי שגם הוספתי את העובדה שקיימת התכנסות במ"ש בכל קטע סגור...)

שוב אתה מניח שיש דלתא קבוע כלשהוא שאינו תלוי בn. שנית, מאיפה ההנחה על המונוטוניות? ואיך היא עוזרת?

פשוט, אם $(f(x)-f_n(x))$ מונוטונית, נגיד יורדת, אז שלכל $n>n_0$ יתקיים כי -

$f(x)-f_n(x) < f(x)-f_{n_0}(x) < \epsilon$, לכל $x \in N_{\delta}$. ומכאן בוחרים שוב את $N=\max(n_0,n_0')$...

פשוט קצת קשה לי לבדוק התכנסות במ"ש בקטעים כמו $[a,\infty]$. האם יש עוד מבחנים שימושיים, חוץ ממבחן ה-Sup, ומבחן ה-M??

מונוטונית באיזה מובן? הרי גם n וגם x משתנים. מבחן הSup הוא העיקרי... הרי אפשר למצוא או לקבל הערכה על נקודת הsup לn כללי בעזרת חקירת פונקציות (כפי שלמדנו בשיעור).

שאלה 1 סעיף ב'

אני לא מצליח לקבוע באם סדרת הפונקציות הנתונה, $f_n(x)=x \cdot \arctan(nx)$ מתכנסת במ"ש או לא ב-$(0,\infty)$

אפשר איזשהו רמז..?? רמזון??? משהו..??

איך הפונקציות האלה מתנהגות באינסוף?

הן שואפות לפונקציה הגבולית - $f(x)= \frac{\pi}{2} \cdot x$, ומה עושים מכאן?

בהגדרה של התכנסות נקודתית אנחנו אומרים שהתנאי מתקיים החל מקיי כלשהוא נכון? אם נתבונן בקטע מסויים ,שהפונקציה מתכנסת נקודתית בכל נקודה בו, ונבחר את המספר פי שהוא המקסימום של כל הקייים של כל הנקודות בקטע. ואז החל מהפי הזה הפונקציה מתכנסת בכל הקטע.וזוהי ההגדרה של התכנסות במ"ש. אז זה אומר שהתכנסות במ"ש והתכנסות נקודתית בכל הקטע זה אותו דבר? כנראה שלא, אז איפה הטעות? שהמקסימום יכול להיות אינסוף? אם הוא תמיד אינסוף-איך מוכיחים את זה? תודה.

(לא ארז/תומר) הבעיה היא שלקחת מקסימום של של קבוצה אינסופית(קבוצת ה-k-ים). אם הסופרימום של הקבוצה הוא מספר אז אכן ישנה התכנסות במ"ש. אבל אם הסופרימום הוא אינסוף- אז אין התכנסות במ"ש.

זה אומר שזה משפט חדש? אם קבוצת הקייים חסומה אז התכנסות רגילה גוררת התכנסות במ"ש?

הגדרנו התכנסות רגילה של טורי פונקציות?(לא במ"ש)

תומר : הגדרנו התכנסות רגילה - זו התכנסות (נקודתית! ) של סידרת הסכומים החלקיים של הטור !  בדומה להתכנסות של טורי מספרים . 

תשובה

התכנסות נקודתית היא ברורה, זה גבול סדרה. התכנסות במ"ש אומרת שלכל אפסילון יש n_0 מסוים שיתאים לכל הנקודות x בקטע. כלומר כאשר ניקח את הפונקציה f_n_0 המרחק שלה מפונקצית הגבול יהיה קטן מאפסילון בכל נקודה. יכול להיות כמו שאמרת שהמקסימום הזה הוא אכן אינסוף.

אולי קצת הטעתי ברמז. יש לנו תנאי מספיק והכרחי השקול להתכנסות במ"ש. צריך לנסות לפתור את התרגיל בעזרתו.

התכנסות רגילה של טור פונקציות היא התכנסות נקודתית כמובן.

רגע, אז כשאני אומר במ"ש(סדרת פונקציות) לפי ההגדרה אז האן אפס שהחל ממנו התנאי מתקיים הוא תלוי רק באפסילון??לא יכול להיות תלוי באיקס??

n_0 הוא אף פעם לא יחיד, אפשר להגדיר אותו תלוי במיליון דברים. אבל אם יש התכנסות במ"ש, יש n_0 שתלוי באפסילון בלבד ולא באיקס (תקרא את ההגדרה). זה המקסימום של כל הn_0-ים המינימליים.

תודה.

אם אמרו לי להגיד אם אישהוא טור מתכנס במ"ש,אן רץ מאחת עד אינסוף, הצלחתי להגיד את זה לגבי אן רץ מ2 עד אינסוף,זה בסדר? למה? תודה.

הגיע הזמן בסוף אינפי 2 לדעת שההתכנסות אינה יכול להשתנות על פי מספר קבוע כלשהו של איברים ראשונים. במקרה הכי גרוע זה יכול להזיז את n_0

זה נכון בהתכנסות של טורים רגילים. אבל בטורים של פונקציות-מי אמר שזה במ"ש זה מוסיף עוד חלק משמעותי לפונקציה,לא? בכל מקרה, אם אני אומר שהטור מתכנס במ"ש מאן שווה 2 אז זה בסדר? תודה!

מה זה במ"ש? שהטור או הסדרה מתכנסים בקצב שאינו קבוע באיקס (יש n_0 שתלוי באפסילון בלבד). שינוי של מספר קבוע של איברים ראשונים יכול לכל היותר להזיז את הn_0 הזה כמספר האיברים ששינית. אפילו אם אני אוסיף לטור איבר ראשון שהוא פונקציה בלתי חסומה, עדיין בכל נקודה הטור מתכנס באותו קצב, שכן בכל נקודה הוספתי לטור איבר אחד בגודל כלשהו.

כמה שאלות

• קודם כל, בקשר לדיון הקודם.. אז סה"כ מס' סופי של איברים לא משנה את ההתכנסות הנקודתית + במ"ש?
• אפשר להשתמש בזה שln(1+t)<t ללא הוכחה?
• אם הוכחתי שטור פונק' מתכנס לא מתכנס במ"ש בקטע הפתוח 0,אינסוף, זה גורר שהוא לא מתכנס גם בקטע החצי סגור?
• ושאלה אחרונה - רק כדי לוודא - במבחן הM של וירשטרס, an לא יכול להיות תלוי בX נכון? (התשובה די ברורה מאליה, אבל בכל מקרה..)

תודה רבה!

תשובה

• נכון, מספר סופי של איברים לא משנה התכנסות או התכנסות במ"ש
• תוכיח את זה... זה גם נכון בתחום מסוים. הוכחה של שורה
• כאילו כולל הנקודה אפס? בוודאי אם טור לא מתכנס במ"ש בקטע מסוים, הוא לא מתכנס במ"ש בקטע גדול יותר שמכיל את הראשון.
• נכון.. מדובר על טור של מספרים קבועים.

תודה רבה ארז.. (: ובקשר לשאלה ה3 - זה נכון גם לגבי רציפות במ"ש?

רציפות במ"ש מאינפי 1? כן, הרי רציפות במ"ש מדברת על ההפרש בפונקציה על כל שתי נקודות במרחק מסוים בציר x. אם יש רציפות במ"ש על קטע יש רציפות במ"ש על כל תת קטע שלו.

שאלה

לגבי מבחן ה-m: הוא עובד גם הפוך?

כלומר, אם אני מראה שטור הפונקציות, גדול מטור מספרים שמתבדר, זה אומר שטור הפונקציות מתבדר?

תשובה

זה לא מבחן m זה טריוויאלי עבור טורים חיוביים (ממבחן ההשוואה של טורים חיוביים) יש התבדרות נקודתית (וממילא אין כזה דבר התבדרות במ"ש)

בקשר למבחן

אני יודעת שהשאלה הזו חוזרת על עצמה פעמים רבות לפני מבחנים, ובכל זאת; לגבי משפטים מההרצאה, כמו למשל טיילור או לופיטל. אני יודעת את הרעיון הכללי של ההוכחה, אבל האם צריך לדעת אותה "לעומק"? כלומר, האם צריך לשים דגש על ההוכחות או שמספיק לרפרף על ההוכחות, לוודא שמבינים אותם ולשים דגש על תרגילים? כי בכל זאת, נאמר לנו שמשפטים גדולים (למרות שאני לא יודעת אם אפשר להגדיר את משפט טיילור כמשפט "גדול") לא יופיעו במבחן..

זו שאלה למרצים שכן הם כותבים את המבחן.

שאלה

אפשר רמז בשאלה 3? הבנתי למה הסדרה מתכנסת אבל אין לי שום רעיון לגבי המידה שווה

מצטרפת

תומר-מצטרף :) - נסו להסתכל על ההפרש fn - f בערך מוחלט , עבור x שנמצא בקטע סגור . קטע סגור ורציפות אמור להזכיר לכם רציפות במידה שווה ... זהו לבינתיים !

בfn-f אתה מתכוון שf זאת הנתונה או הפונקציה הגבולית?

תומר : בהחלט - לא נתונה לנו f אחרת , השאר תלויות ב n .

רק תיקון טעות

בשאלה 4a הגדרתם את הטור מ-n=1 למרות שיש בטור את הביטוי ln n אני מניח שזאת לא הכוונה שלכם להתחכם איתנו אבל בכל זאת...

כן תודה כבר תיקנו לנו את זה. תתחילו מn=2

מס' שאלות

• שאלה כללית: פונק' יכולה להיות גזירה ב(a,b) אב ללא להיות מוגדרת בa או בb? כי אם היא גזירה ב(a,b), אזי היא רציפה בקטע פתוח זה, אבל לפי הגדרת הרציפות החד צדדית - הפונק' צריכה להיות מוגדרת בקצוות..
• בנוגע לטיילור: אם f גזירה פעמיים ב[a,b] למה מותר לי לפתח טיילור סביב a למשל? המשפט לא דורש גזירות בסביבה של הנק' - לא סביבה חד צדדית?
• אם אני צריכה להוכיח שsup|f(x)| אינו 0 בתחום (0,infinity) והראיתי שכאשר x->0 אזי f(x)->infinity, האם זה מוכיח לי בוודאות? (שגם הגבול כשn->infinity בטוח אינו 0?)

תודה רבה!

תשובה

• אם היא גזירה בקטע הפתוח היא לא חייבת להיות גזירה בקצוות ולכן לא מעניין אותנו בכלל מה הערך שלה שם. נגזרת חד צדדית רלוונטית אם הפונקציה גזירה בקטע הסגור. דוגמא טריוויאלית: אחד חלקי איקס גזירה ב(0,1) אך לא מוגדרת באפס כלל.

• אני לא בטוח מה למדתם בהרצאה. תנסו לראות מה קורה במקרה הקצה הזה. הרי בטח טיילור כפי שהוא במקור לא מתאים לקצה שכן הפונקציה לא חייבת בכלל להיות מוגדרת בצד השני של a. כנראה שאפשר להתאים שם הכל למקרה חד צדדי.

• אם הפונקציה שואפת לאינסוף בוודאי הsup של הערך המוחלט שלה הוא אינסוף. מכיוון שלא הזכרת את n בשאלה אני לא מבין איך אפשר להגיע למסקנה כלשהי לגבול עליו

שאלה

אפשר להעלות מבחנים ותרגולים לאתר? תומר - ראשית , הרעיון הוא שאת סיכום התירגול האחרון (ההשלמה ביום שלישי הקרוב ) נעלה גם כן ,לטובת מי שלא יוכל להגיע וגם , ייתכן שלא נספיק לפתור את כל הדוגמאות בזמן שיש לתירגול , אז יהיו לכם שאלות נוספות לראות . בנוסף - תרגיל נוסף (11) על סדרות , טורי פונקציות וטורי חזקות , יינתן - אך ללא הגשה , ופיתרון שלו יפורסם בסמוך לפירסומו . מעבר לכך - אשאל את המרצים לגבי מבחנים בעבר - לא ידוע לי האם הם לימדו את הקורס , ובכל אופן ניתן לארגן שאלות נוספות פתורות/מודרכות/רמוזות .

שאלה

למה לנגזרת יכולות להיות רק אי רציפות מסוג שני?

תומר - מוטב להיזכר בזה עכשיו מאשר בכלל לא :) - הסתכל/י באתר זה תחת " דף עזר לגבי נקודות אי רציפות של הנגזרת " .

שאלה

איך אפשר לחשב את ההתכנסות של האינטגרל הלא אמיתי מ-0 עד אינסוף של $\int \frac{\sin(x)}{x}$? (או של האינטגרל הזה בכלל)

זה נובע ישירות ממבחן דריכלה - ציטוט:

אם $f,g$ גזירות, כך שבקטע $[a,\infty]$ מתקיים -

• $f$ מונוטונית יורדת.
• $\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = 0$.
• הפונקציה $G(x)=\int_{a}^{b} g(x)dx$ חסומה, לכל $b>a$.

אזי שהאינטגרל - $\int_{a}^{\infty} f(x)g(x)dx$ מתכנס!

ונא לשים לב שהפונקציה $\frac{\sin(x)}{x}$ רציפה וגזירה בכל נקודה (כי הרי, $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$)

ולפיכך קיים האינטגרל $\int_{0}^{1} \frac{\sin(x)}{x}$

תודה רבה :) !

שאלה

(לקוחה מספר) - תהי f יורדת ממש והאינטגרל: $\int_0^\infty f$ קיים. הוכיחו שהאינטגרל שונה מ- $\sum _{n=1}^\infty f(n)$ , ושקיים מספר a בקטע (0,1) כך ש- $\int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n)$

(לא ארז/תומר) $\int_0^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f > \sum _{n=1}^\infty \int_{n-1}^{n} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1$ אי השוויון מתקיים בגלל המונוטוניות (אי שוויון בפונקציות גורר אי שוויון באינטגרלים) ומשום ש-f יורדת ממש נקבל $f(n)>f(n-1)$ ולכן יש אי שוויון חזק באינטגרלים. לגבי החלק השני של ההוכחה: באותו האופן מתקיים גם: $\int_1^\infty f = \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f < \sum _{n=1}^\infty \int_{n}^{n+1} f(n) = \sum _{n=1}^\infty f(n)\cdot 1$

$g(a):=\int_a^\infty f$ פונקציה רציפה כי אם b שואף לאפס אז $g(a+b)=\int_{a+b}^\infty f = \int_{a}^\infty f - \int_{a}^{a+b} f \xrightarrow{b \rightarrow 0} \int_{a}^\infty f = g(a)$

הראינו כי $g(0) > \sum _{n=1}^\infty f(n) > g(1)$ ולכן לפי משפט ערך הביניים קיים $0<a<1$ עבורו $g(a)=\sum _{n=1}^\infty f(n)$, כלומר $\int_a^\infty f = \sum _{n=1}^\infty f(n)$, מש"ל

תודה רבה!! את החלק השני הבנתי היטב, אבל בחלק הראשון משהו נראה לי מוזר באי-שוויון (שגם מוזכר בחלק השני) - יש שני ביטויים ששווים זה לזה וסמנת אי שוויון, אולי שכחת לציין שמדובר פעם ב-f(n) ופעם ב- f(n-1)?

פעם יש שם f ופעם יש f(n) זה ההבדל בין האינטגרל על הפונקציה, לבין האינטגרל על פונקצית המדרגות (כאשר אתה קובע את הערך של כל מדרגה לפי הקצה השמאלי או הימני שלה). אכן יש אי שיוויון חזק בין הפונקציה לבין פונקציות המדרגות הנ"ל.