בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות

${n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!}$

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

ארכיון

ארכיון 1 - יהיה בהמשך

שאלות

שאלות 7(ו,ז), 8, 9 ו10

אני לא יודע איך פותרים את שאלות 7(ו,ז), 8, 9 ו10. כשהיה צריך לעשות הוכחות עם חיתוך,איחוד והפרש של קבוצות, הצלחתי, אבל אני פשוט לא יודע איך "לטפל" בשאלות עם קבוצת חזקה וכו'. עזרה בבקשה!

השאלה היא האם אתה יודע מה היא ההגדרה של קבוצה החזקה, משום שברגע שאתה מבין היטב מה היא ההגדרה אז מכאן ואילך לא אמורות להיות בעיות, במיוחד אם אתה שולט היטב כבר בחיתוך\איחוד. בו נראה - קבוצה החזקה של $A$ היא קבוצת כל תת-הקבוצות של $A$, דהיינו $x \in P(A)$ אם ורק אם $x \subseteq A$. במילים, איבר שייך לקבוצת החזקה של $A$ אם ורק אם הוא תת-קבוצה של $A$. המלצה שלי היא שתנסה לנסח את השאלות שאתה מתבקש לענות עליהן כתרגיל בלי להשתמש במונח\סימן של קבוצת החזקה אלא בהגדרה שעומדת מאחוריה. ~

שאלה 9

אם אני צריכה להוכיח שמשהו מוכל ממש במשהו אחר, והוכחתי שזה מול או שווה, ובנוסף, מצאתי דוגמא לכך שזה שווה. זה נחשב הוכחה או הפרכה?

נראה לי שהכוונה ב"מוכל ממש" (גם לפי הסימן) היא שקבוצה אחת מוכלת בקבוצה שנייה אבל לא שווה לה. לכן את צריכה להוכיח שקבוצה אחת מוכלת בשנייה, וגם להוכיח שהיא לא שווה לה. אם תוכיחי את זה, זאת תהיה הוכחה (לא הפרכה). את יכולה להסביר איך הצלחת להוכיח את ההכלה בשאלה 9? תודה

הוכחה

האם חובה להוכיח ש-$\overline{\bigcup_{i \in I} A_i } = \bigcap_{i \in I} \overline{A_i}$ ולהיפך (עם חיתוך במקום איחוד) במבחנים ובש"ב? תודה, אור שחף - שיחה 19:33, 20 ביולי 2010 (UTC)

אור, זה בעצם חוקי דה-מורגן שלכל $(A_i\cup A_{i+1})^c = A_i^c\cap A_{i+1}^c$ רק באופן כללי וגורף $\forall i\in I$, באיחוד מלא. בחוקי דה-מורגן אפשר להשתמש ללא הוכחה.. אך עדיין אני לא בטוח ב-100%.. חוקי דה-מורגן באיחוד מלא..

הבעיה היא לא איך, אלא האם. הוכחה שלמה יכולה להיות די ארוכה (עם אינדוקציה, למשל, ומה שרשמת), ואני לא אכתוב את כל זה סתם. בינתיים אני משאיר את זה בלי הוכחה, אם מישהו יודע שצריך להוכיח - שיגיב. תודה, אור שחף - שיחה 12:02, 21 ביולי 2010 (UTC)

חברים שלי הלכו לשעות הקבלה של המרצה שי סרוסי והוא הסביר שצריך להוכיח את זה באינדוקציה(גם אני עשיתי כמוך וחברים שלי הראו לו את ההוכחה הזאת)

כן, אבל השאלה היא לא איך להוכיח את זה (במקרה כזה מוכיחים כמובן באינדוקציה, זו הדרך הכי טריוויאלית שיש) אלא האם יש צורך להוכיח את זה כל פעם מחדש. האם מישהו שאל את המתרגל שלו ויכול לענות על השאלה?

שים לב כתבתי שהוא אמר שצריך כלומר חייב להוכיח את זה כל פעם מחדש עפ"י דבריו.

אוקי. בכל אופן - האם אחד מהמתרגלים יכול להבהיר נקודה זו?

שאלה 4

בסעיף ג' הניסוח של השאלה לא ברור לי. צריך להוכיח שהאיחוד של כל הקבוצות Ai פחות החיתוך של כל הקבוצות Bj שווה למה? תודה מראש, דניאל.

שווה ל-$\begin{align} \bigcup_{i=1}^n \big((A_i - B_1) \cup (A_i - B_2) \cup (A_i - B_3) \cup \dots \cup (A_i - B_m)\big) \\ = \big((A_1 - B_1) \cup (A_1 - B_2) \cup \dots \cup (A_1 - B_m)\big) \cup \big((A_2 - B_1) \cup \dots \cup (A_2 - B_m)\big) \cup \dots \cup \big((A_n - B_1) \cup \dots \cup (A_n - B_m)\big) \end{align}$

אור שחף - שיחה 18:19, 20 ביולי 2010 (UTC)

שאלה 3

מי הצליח להוכיח את שאלה 3ב.?

אני, ואל תצפה להוכחה פשוטה. אחרי שהוכחתי את זה בדרך המסובכת, חיפשתי בגוגל הוכחות יותר טובות, אבל כל האתרים מוכיחים את זה בצורה דומה. נ.ב. כדאי לכתוב שאלות חדשות בראש העמוד, ככה כולם עשו עד עכשיו (ולכן, אם תכתוב שאלה בתחתית אף אחד לא יראה אותה). אור שחף - שיחה 15:45, 20 ביולי 2010 (UTC)

תרגיל 6

האם אני צריכה להוכיח שהקבוצות שבחרתי Bi מקיימות את התנאים הדרושים? תודה, חן.

כן. תמיד בתשובות במתמטיקה יש לנמק, לא מספיק לתת תשובה סופית

תרגיל 1.ב

בתרגיל 1, סעיף ב, האם צריך להוכיח ש-$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$? ובמבחנים? תודה, אור שחף 11:26, 20 ביולי 2010 (UTC)

אור, אני לא מתרגל ו/או מרצה בקורס זה (אלא תלמיד סה"כ) ולכן אל תיקח את התשובה שלי כתשובה שאתה יכול להסתמך עליה. עם זאת, נראה לי שהדבר טרוויאלי ונובע ישירות מההגדרה של קבוצות אלו, ולכן אין צורך להוכיח את זה במבחן, אלא רק לציין שהדבר מתקיים אם אתה צריך לעשות בו שימוש.

תרגיל 1,שאלה 6

לא הצלחתי להבין מה מבקשים בשאלה 6, מה זאת אומרת "הצג..."?

אני חושב שאת/ה צריך/ה לת דוגמה. אור שחף 11:26, 20 ביולי 2010 (UTC)

קבוצות מוכלות זו בזו

שלום לכולם, האם נכון לומר שבמידה וקבוצה $A$ מוכלת בקבוצה $B$ אז $\mathcal{P}(A)$ תהיה מוכלת ב-$\mathcal{P}(B)$? תודה שוב, גל.

תשובה

תחשוב על ההגדרות ועל מה זה אומר ש-X שייך ל- $\mathcal{P}(A)$ והאם בהכרח הוא שייך ל $\mathcal{P}(B)$

חידוד השאלה בנושא זה

לא כל כך הבנתי את התשובה שלך. כמובן שלפני שאני שולח כאן אני מסתכל על הגדרות, ולכן אחדד את שאלתי (יש לי תחושה שלא הובנתי נכון): נניח שנתון לי ש-$X$ כלשהו שייך לקבוצה $A$ ושאותה קבוצה $A$ מוכלת בקבוצה $B$ כלשהי. לכן האיבר $X$ הינו איבר גם בקבוצה $B$. משום כך {X} הוא איבר ב- $P(A)$ וגם ב- $P(B)$. האם מכאן אני יכול לקבוע שהקבוצה $P(A)$ מוכלת בקבוצה $P(B)$ (נראה לי שהתשובה היא כן אבל אני רוצה להיות בטוח)? והאם אני יכול להשתמש בזה בהוכחות בלי צורך להוכיח את זה כל פעם מחדש (או פשוט לומר ישירות שמכיוון שמתקיים $A \subset \ B$ אז $P(A) \subset \ P(B)$)? תודה, גל.

אנחנו מכוונים אותך להגדרות לא כי אנחנו חושבים שלא קראת לבד קודם, אלא כי חשוב לדעת להוכיח מתמטיקה במדויק לפי ההגדרות. מתי אנחנו יודעים שA מוכלת בB לפי הגדרה? אם אתה רוצה לטעון ש$P(A) \subset \ P(B)$ תוכיח את זה במדויק לפי ההגדרה.

מה שעשית למעלה הוא הסבר עם דוגמא אבל לא הוכחה שלימה.--ארז שיינר 11:57, 20 ביולי 2010 (UTC)

ברור לי גם שעליי להוסיף להוכחה את העובדה שב- $P(B)$ יש איבר שאין אותו ב- $P(A)$. וסליחה על השאלה הקצת טיפשית, מה עליי להוסיף בכדי שהדבר ייחשב להוכחה שלמה?

הוספתי לאחר התנגשות עריכה - הוכחה: תהי קבוצה X כך ש-$X \in \mathcal{P}(A)$. לפיכך $X \in \left\{S|S \subseteq A\right\}$. מתקיים $A \subseteq B$ ולכן $\left\{S|S \subseteq A\right\} \subseteq \left\{S|S \subseteq B\right\} \Rightarrow \left\{X\right\} \subseteq \left\{S|S \subseteq B\right\} = \mathcal{P}(B)$ ולבסוף: $X \in \mathcal{P}(B)$. מכאן נובעת הטענה המתבקשת, מש"ל. אור שחף 12:10, 20 ביולי 2010 (UTC)

עכשיו הבנתי. האם אני צריך להציג את זה בכל מקום שאני מסתמך על כך או שלא? תודה גל.

אתה מתכוון במבחנים ובתרגילים? אני מנחש שלא, אבל עדיף לשאול את המרצים ב-google groups. אור שחף - שיחה 12:24, 20 ביולי 2010 (UTC):

שאלתי את המתרגלת שלי והיא אמרה שלא צריך...

תרגיל 1

שלום רב, היום העלתם את התרגיל הראשון, אך לא כתבתם תאריך הגשה. מתי צריך להגיש אותו? תודה, גל.

שלום גל, לפי מה שידוע לי צריך להגיש ביום רביעי 28.7. אלה.