גלים עומדים במיתר

גל הינו תופעה נפוצה המתארת הפרעה המתפשטת במרחב. גלים קיימים ונחקרים בתחומים שונים בפיזיקה למשל, גלים אלקטרומגנטיים, גלי קול, גלי מים ועוד. במעבדה זו נחקור גלים עומדים במיתר, תופעה זו מתקבל מתוך תכונותיו הבסיסיות של הגל ההרמוני. במהלך הניסוי יומחש המושג "גלים עומדים" בעזרת צפייה בגלים במיתר, מדידה של נקודות הצומת וחישוב מהירות הגל.

רקע תיאורטי

באוויר, במוצק ובנוזל נוצרים גלים מכניים הודות לכוחות אלסטיים, היוצרים קשרים בין חלקי גוף שונים. בתהליך יצירת גלים בתווך מסויים כמו מים או מיתר משתתפים כוחות כבידה וכוחות מתיחות.

גל במיתר ניתן לתיאור כמו כל גל אחר בעזרת משוואת גלים:

$\ \frac{\partial^2 }{\partial t^2} \psi(t,\vec{r}) = v^2 \ \nabla ^2 \psi(t,\vec{r})$

זוהי משוואה דיפרנציאלית , שבה:

• $\vec{r}$ הוא המקום במרחב.
• $\ t$ הוא הזמן.
• הפונקציה $\ \psi (t,\vec{r})$ היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.
• $\ v$ היא מהירות התקדמות הגל.
• $\ \nabla ^2$ הוא האופרטור לפלסיאן.

נחקור מיתר המתנודד ונקבל את משוואת הגלים עבורו בחד מימד.

איור 1 - סכמת כוחות על מיתר מתנודד

נתון מיתר גמיש וגל עובר בו. נניח כי אמפליטודת הגל קטנה, הצפיפות $\rho$, אורך המיתר $L$ והמתיחות $T$ (בשווי משקל). כעת נעוות את המיתר וניצור בו הפרעה, ראו איור 1. העיוות יהיה קטן כדי לא לשנות את המתיחות. נבחר קטע על המיתר ונתייחס רק אליו. קבענו כתנאי קודם שהמתיחות בשני הקצוות שווה והיא T. מתיחויות אלו אינן פועלות בכיוונים מנוגדים אלא בסטייה קטנה ($\alpha\ \ne\alpha^\prime$), ולכן נוכל לכתוב משוואה לסכום הכוחות על הקטע שלנו:

$\Sigma F_y=T(sin \alpha^\prime -sin \alpha)$

כיוון שמדובר בזוויות קטנות נחליף sin ב- tan ונקבל:

$\Sigma F_y=T(tan \alpha^\prime -tan \alpha)$.

זהו הפרש של tan, לכן נכתוב את המשוואה:

$\Sigma F_y=T\ \frac{\partial tan \alpha}{\partial x} dx=T\ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} dx$

כעת, נכתוב את החוק השני של ניוטון עבור מיתר זה:

$\Sigma F_y=m\ \frac{d^2 y}{dt^2}=\ \frac{\partial m}{\partial x} dx \ \frac{d^2 y}{dt^2}$

נשווה בין שני התיאורים, ונקבל את משוואת הגלים:

$(T/\frac{\partial m}{\partial x} )\ \frac{d^2 y}{dx^2}= \frac{d^2 y}{dt^2}$

כאשר המהירות $v$ נתונה על ידי: $v^2=T/\frac{\partial m}{\partial x}$

גלים עומדים

כאשר מיתר מתנודד באופן מחזורי, והגל שנוצר מגיע למכשול מתבצעת החזרה מלאה. במקרה זה, נקבל במיתר שני גלים זהים זה לזה בתדירות ובמשרעת והפוכים בכיוון התקדמותם. ההעתק של כל נקודה במיתר במקרה זה יהיה שווה לסכום האלגברי של ההעתקים של שני הגלים. התוצאה של הסופרפוזיציה, במקרה זה, היא אופן תנודה בעל תכונות מיוחדות, המכונה גל עומד. נכתוב את משוואת הגל עבור הסופרפוזיציה:

$y=A(sin(wt+kx)-sin(wt-kx))=2Asin(kx)cos(wt)$

זוהי תנועה הרמונית פשוטה באמפליטודה משתנה, שערכה: $2Asin(kx)$. בנקודות מסוימות במיתר האמפליטודה מתאפסת בכל זמן. נקודות אלו נקראות nodes, ומיקומם תלוי באורך הגל $x=\lambda n/2$.

כאשר מדובר על מיתר התפוס בשני קצותיו, נקבל כי ישנה שני תנאי שפה:

$y=0$ ב- $x=0$ וב- $x=L$, כאשר $L$ הוא אורך המיתר.

העובדה ששני קצות המיתר הן נקודות צומת מטילה מגבלה על אורך הגל והתדירות של הגל העומד. המיתר יכול להכיל רק גל עומד בעל מספר שלם של חצאי אורכי גל, כמוראה באיור 2.

איור 2 - אופני תנודה של מיתר התפוס בשני קצותיו.

באופן התנודה הראשון, המופיע בראש האיור, ישנם במיתר שתי נקודות צומת. אורך המיתר כולו שווה למחצית אורך גל, ולכן אורך הגל הוא $\lambda=2L/n$. יש לשים לב לעובדה שישנם הרבה אורכי גל מתאימים, $n$ הוא מס' רץ, ולכן אורכי גל אלו עשויים ליצור תדירויות שונות. זאת אחת הסיבות שבנגינה על כלי מיתר כלשהו שומעים לא רק את התדירות החזקה אלא עוד צלילים ברקע (וצלילים אלו נקראים הרמוניות).

במקרה שלנו יש מקור תנודות ולכן המשוואה תהיה:

$\frac{d^2 y}{dt^2} = v^2\ \frac{d^2 y}{dx^2} + f(x,t)$

הפיתרונות של משוואה זו הם פתרונות הרמוניים, ובמקרה הכללי ביותר טור פוריה של מכפלות של סינוסים וקוסינוסים. עבור מיתר תפוס נקבל שהחלק המרחבי של הטור מכיל סינוסים בלבד. עבור תדירויות מסוימות של המקור המתאימות לתדירויות העצמיות של המיתר נקבל פונקצית סינוס מרחבית אחת בלבד. לפונקציה זו נקודות התאפסות לאורך המיתר (קבועות בזמן).

מערכת הניסוי

איור 3 - מערכת הניסוי - גל עומד

המערכת שלנו מורכבת ממיתר התפוס בשני קצותיו. מיתר זה נע בתנודות הרמוניות מאולצות על ידי מתנד. המתנד מורכב ממגנט קבוע הניצב בתוך סליל. כאשר בסליל מוזרם זרם חילופין בתדר מסויים הוא ייצור שדה מגנטי המשתנה באותה תדירות. כתוצאה מכך, המגנט ינוע בכיוון האנכי ויניע את המיתר בתדר המאלץ. בקצהו של המיתר מחוברת משקולת, שמשקלה יוצר את המתיחות המיתר.

מהלך הניסוי

כדי ליצור גלים עומדים, יש לחבר אל המתנד את המיתר, ולשנות את התדירות המאלצת עד לקבלת מצב בו ניתן להבחין בצמתים ברורים. ברור כי ישנם מספר אופני תנודה ועל ידי שינוי התדיריות ניתן לקבל כמה אופני תנודה במספר אינדקס שונה, $n$.

שינוי המתיחות המיתר

באותו מיתר ניתן לשנות את גודלה של מהירות הגל על ידי שינוי המתיחות. על מנת ליצור מתיחויות שונות, נשתמש במשקולות בצירופים של $0.07 kg, 0.15 kg, 0.17 kg, 0.2 kg$. שגיאת המדידה של המשקולות היא גרם אחד.

עבור כל מצב של מתיחות במיתר, בנו גרף של התדירויות בהן מתקבל גל עומד כפונקציה של אינקס אופן התנודה.

משיפוע הגרף, מצאו את מהירות הגל. השוו זאת למהירות המחושבת.

שינוי צפיפות המסה של המיתר

גורם נוסף המשנה את מהירות הגל במיתר הוא צפיפות המסה של המיתר.

$\rho=\frac{\partial m}{\partial x}$, ונניח שצפיפות המיתר קבועה לכל אורכו.

נשתמש במיתרים בעלי צפיפות מסה שונה:

• מיתר צהוב - $m=0.027 kg, L=9.28 m$

• מיתר כחול - $m=0.066 kg, L=9.6 m$

• מיתר לבן - $m=0.011 kg, L=2.91 m$

עבור כל אחד משלושת המיתרים, בנו גרף של התדירויות בהן מתקבל גל עומד כפונקציה של אינקס אופן התנודה.

משיפוע הגרף, מצאו את מהירות הגל. השוו זאת למהירות המחושבת.