משפט פרמה (אינפי)
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־11:39, 7 ביוני 2016 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
תוכן עניינים
הגדרת נקודת קיצון מקומית
תהי מוגדרת בסביבת הנקודה כך שלכל בסביבה מתקיים:
- (נקודת מקסימום מקומי)
או
- (נקודת מינימום מקומי)
אזי הנה נקודת קיצון מקומית של .
משפט פרמה
תהי נקודת קיצון מקומית של פונקציה . אזי אם גזירה ב- מתקיים:
הוכחה
נניח כי גזירה בנקודת מקסימום מקומי (ההוכחה עבור מינימום דומה). אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
לפי משפט, כיון שהגבול קיים, הגבולות החד-צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של בה מתקיים , וכיון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם .
לכן ביחד, מתקיים כי
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של בה מתקיים , וכיון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם .
לכן ביחד, מתקיים כי
סה"כ כפי שרצינו.