מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/1/פתרון 1
1
נבדוק מתי הביטוי באגף שמאל מתאפס.
לפי נוסחא נקבל פתרון יחיד .
המקדם של חיובי (1) לכן הביטוי מתאפס ב- וחיובי מימינו ומשמאלו (ולכן אינו שלילי לאף ).
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. הביטוי הוא מכפלה של שני ביטויים ולכן הוא מתאפס כאשר כל אחד מהם מתאפס. לכן אגף שמאל מתאפס ב- .
אם נפתח סוגריים נקבל והמקדם של שלילי לכן הביטוי מקבל ערכים שליליים כאשר או , וערכים חיוביים כאשר .
פתרון:
נבדוק מתי מתאפס. לפי נוסחא נקבל
המקדם של שלילי לכן הערכים החיוביים מתקבלים בין הפתרונות שמצאנו.
פתרון:
נפרק לשלושה ביטויים: ונבדוק מתי כל אחד מהם חיובי ושלילי.
: ריבוע של מספר הוא תמיד אי-שלילי, ולכן בתוספת 1 הוא תמיד חיובי (למשוואה אין פתרון ממשי)
: מתאפס ב- . הביטוי שלילי ביניהם וחיובי כאשר או
: מתאפס ב-0 וחיובי אחרת.
קיבלנו מספר תחומים. נבדוק את סימן הביטוי בכל תחום לפי מכפלת הסימנים של הביטויים הקטנים:
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה גם חיובית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני שלילי והשלישי חיובי. לכן המכפלה שלילית
: הביטוי הראשון חיובי, השני חיובי והשלישי חיובי. לכן המכפלה חיובית
בנקודות הביטוי מתאפס לכן גם נקודות אלה הן פתרונות לאי-השוויון.
פתרון:
כאשר . שימו לב, רצוי לחלק למקרים אפשריים של .
השאלה היא מתי מכפלה של גורמים היא חיובית. התשובה היא כאשר מספר הגורמים השליליים הוא זוגי. כאשר מספר שלם בין 1 ל- , הביטוי מתאפס ולכן זה איננו פתרון.
לכן אנחנו מתעניינים בתחומים . בתחום האחרון כל הגורמים חיוביים ולכן תחום זה הוא תמיד פתרון. נחלק למקרים:
זוגי: אם כל הגורמים שליליים ולכן המכפלה כולה חיובית (כי זוגי) ולכן זה פתרון. נשארנו עם התחומים מהצורה עבור . אם זוגי אז יש עוד מספר זוגי של תחומים כאלה אחריו (כי זוגי) ולכן המכפלה חיובית. אחרת, יש מספר אי-זוגי של גורמים שליליים ולכן המכפלה שלילית.
לכן התשובה עבור זוגי היא:
עבור אי-זוגי נפתור בצורה דומה ונקבל:
נחלק למקרים: אם נקבל את אי-השוויון ולכן סה"כ הפתרונות של מקרה זה הם
אם נקבל וסה"כ הפתרונות הם
נאחד את הפתרונות של שני המקרים ונקבל את הפתרון
נחלק למקרים. הביטוי הערך המוחלט מתאפס ב- לכן נתבונן במקרים:
: אי-השוויון הוא לכן . התשובה היא
: אי-השוויון הוא לכן . התשובה היא . נאחד את הפתרונות ונקבל:
פתרון:
נחלק למקרים:
: אי-השוויון הוא . נפשט ונקבל . ביטוי זה חיובי כאשר או (בדקו!). לכן הפתרון הוא
: אי-השוויון הוא . נפשט ונקבל . הביטוי משמאל תמיד חיובי (בדקו!), לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
נשים לב שלביטוי אין ערך ב- . אם נקבל וזה לא יתכן. אם נקבל וגם זה לא יתכן.
פתרון: אף לא מקיים את אי-השוויון
הביטוי בערך המוחלט הימני חיובי עבור או .
: נקבל אי-שוויון . נפשט ונקבל והפתרון של זה הוא . סה"כ:
: נקבל אי-שוויון ואחרי פישוט: . הפתרון הוא או לכן סה"כ: .
: נקבל . נפשט ונקבל והפתרון הוא . לכן במקרה זה אין פתרון.
פתרון:
הביטוי הריבועי מתאפס ב- . נחלק למקרים:
: או לכן סה"כ
: . לכן סה"כ:
: . לכן סה"כ:
: . לכן סה"כ:
: או . לכן סה"כ:
פתרון: או
2
נגדיר שתי פונקציות
מצא עבור אילו ערכי מתקיימים אי-השוויונות הבאים:
נפריד למקרים:
: במקרה זה אי-השוויון הוא והוא תמיד מתקיים
: אי-השוויון הוא והוא מתקיים עבור לכן הפתרון הוא
: אי-השוויון הוא לכן הפתרון הוא ולכן אין פתרון
פתרון:
נפריד למקרים:
: אי-השוויון הוא וריבוע של מספר הוא תמיד אי שלילי לכן זה מתקיים לכל
: ערך הפונקציה הוא 0 ולכן זה לא פתרון
: אי-השוויון הוא וזה לא מתקיים לאף ערך בתחום
פתרון:
נשים לב שמתקיים: לכל :
:
:
:
לכן גם מתקיים לכל
: . הפתרון הוא
: לכן זה פתרון.
: . נכון לכל .
: . כל התחום הוא פתרון
: . גם כאן כל התחום הוא פתרון
פתרון:
: .
כיון שאנחנו בתחום נקבל שהביטוי תמיד חיובי ולכן ניתן להשמיט את הערך המוחלט ולקבל: .
לאי-שוויון זה אין פתרון בתחום . נקבל ואין לזה פתרון בתחום . נציב ונקבל שזה לא פתרון
: נקבל והפתרון הוא
: נקבל והפתרון הוא כל התחום
פתרון: או