משפט המימדים
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־13:38, 2 בספטמבר 2018 מאת יהודה שמחה (שיחה | תרומות)
חזרה למשפטים בלינארית
משפט הממדים
יהי מ"ו נוצר סופית ויהיו תת־מרחבים של . אזי:
הוכחה
נסמן את הבסיס ל־ ב־ .
כיון ש־ , ניתן להשלים את בסיס החיתוך לבסיס ל־ ובאופן דומה לבסיס ל־ .
נסמן את הבסיסים .
נסמן את איחוד הבסיסים , ונוכיח כי הנו בסיס ל־ .
B פורש את U+W
יהי . אזי נציג את הוקטורים כצירוף לינארי של הבסיסים
ברור אם כך כי
B בת"ל
ניקח צירוף לינארי מתאפס כלשהו של אברי :
נסמן
ברור משני אגפי המשוואה כי ולכן
לכן ל־ יש הצגה כצירוף לינארי של אברי הבסיס לחיתוך, .
כמו כן, ל־ יש הצגה יחידה כצירוף לינארי של אברי הבסיס של ולכן מתקיים:
ולכן .
כעת קיבלנו כי ,
אבל זה צירוף לינארי של אברי הבסיס של ולכן הוא טריוויאלי.
מכאן שהצירוף הלינארי היחיד המתאפס של אברי הנו הטריוויאלי ולכן בת"ל.
ספירת ממדים וסיכום
מצאנו אפוא, בסיסים לכל תת־המרחבים המוזכרים במשפט, נותר רק לוודא שאכן הנוסחא עובדת: